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Cálculo de volume e integral definida

Determine o volume do sólido obtido pelas funções : y= x²+2; y= (x+2)/2, x=0 e x=1., que gira em torno do eixo x.

Cálculo IUFVJM

2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para calcular o volume, vamos usar o teorema de Pappus:

\(V=2\pi A\bar{y}\)

Onde \(\bar{y}\) é a ordenada do centro de massa da região dada e \(A\) é sua área. Vamos começar por calcular o centro de massa:

\(\begin{align} \bar{y} &= {\int_0^1\int_{x+2\over2}^{x^2+2}y\ dydx\over A}\\ &= {\int_0^1\left[{1\over2}y^2\right]_{x+2\over2}^{x^2+2}dx\over A}\\ &= {1\over2A}\int_0^1\left[(x^2+2)^2-\left(x+2\over2\right)^2\right]dx\\ &= {1\over2A}\int_0^1\left[(x^2+4x+4)-\left(x^2+4x+4\over4\right)\right]dx\\ &= {1\over2A}\int_0^1{3\over4}x^2+3x+3\ dx\\ &= {1\over2A}\left[{1\over4}x^3+{3\over2}x^2+3x\right]_0^1\\ &= {1\over2A}\left({1\over4}+{3\over2}+3\right)\\ &= {19\over8A} \end{align}\)

Substituindo no teorema de Pappus, temos:

\(V=2\pi A\bar{y}=2\pi A\left({19\over8A}\right)\Rightarrow\boxed{V={19\pi\over4}}\)

Para calcular o volume, vamos usar o teorema de Pappus:

\(V=2\pi A\bar{y}\)

Onde \(\bar{y}\) é a ordenada do centro de massa da região dada e \(A\) é sua área. Vamos começar por calcular o centro de massa:

\(\begin{align} \bar{y} &= {\int_0^1\int_{x+2\over2}^{x^2+2}y\ dydx\over A}\\ &= {\int_0^1\left[{1\over2}y^2\right]_{x+2\over2}^{x^2+2}dx\over A}\\ &= {1\over2A}\int_0^1\left[(x^2+2)^2-\left(x+2\over2\right)^2\right]dx\\ &= {1\over2A}\int_0^1\left[(x^2+4x+4)-\left(x^2+4x+4\over4\right)\right]dx\\ &= {1\over2A}\int_0^1{3\over4}x^2+3x+3\ dx\\ &= {1\over2A}\left[{1\over4}x^3+{3\over2}x^2+3x\right]_0^1\\ &= {1\over2A}\left({1\over4}+{3\over2}+3\right)\\ &= {19\over8A} \end{align}\)

Substituindo no teorema de Pappus, temos:

\(V=2\pi A\bar{y}=2\pi A\left({19\over8A}\right)\Rightarrow\boxed{V={19\pi\over4}}\)

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Rodrigo

Há mais de um mês

Débora, sei que estou bastante atrasado, mas a três meses atrás não fazia parte da comunidade ainda.

Esta integral pode ser calculada através da seguinte metodologia:

∫π[f(x)]^2dx = Volume do sólido de revolução. π[f(x)]^2=πy^2 é a área do círculo ortogonal ao eixo Ox na abscissa x. Se multiplicarmos essa área por dx teremos um pequeno volume. Somando todos estes pequenos volumes de x=0 até x=1 teremos o volume do sólido pedido. No caso, ele será obtido pela diferença entre as duas funções entregues y=x^2+2 e y=(x+2)/2.

Então, realizando a subtração das duas:

y=x^2+2-(x+2)/2=x^2-(1/2)x+1

Calculando-se o delta para esta equação do segundo grau:

Δ=(-1/2)^2-4(1)(1)=1/4-4=-15/16 < 0 (não há raízes reais)

Então a função sendo sempre positiva nos permite afirmar que x^2+2 é sempre maior que (x+2)/2.

Para o cálculo do volume, então, podemos calcular o volume da primeira função e subtrair o volume da segunda, obtendo assim a resposta ao problema.

Calculando-se a integral sugerida, temos:

∫π[f(x)]^2dx (x=0 a x=1) ⇒ ∫π[x^2+2]^2dx-∫π[(x+2)/2]^2dx (x=0 a x=1)

∫π(x^4+4x^2+4)dx-∫π[(x^2+4x+4)/4]dx ⇒ π(x^5/5+4x^3/3+4x)-π(x^3/12+x^2/2+x)

π(x^5/5+4x^3/3+4x-x^3/12-x^2/2-x) (x=0 a x=1) ⇒ π(x^5/5+5x^3/4-x^2/2+3x)

⇒ π(1^5/5+5*1^3/4-1^2/2+3*1) - π(0^5/5+5*0^3/4-0^2/2+3*0)

⇒ π(1^5/5+5*1^3/4-1^2/2+3*1) ⇒ 79π/20 u.v. (unidades de volume)

Espero ter podido ajudar, mesmo que tardiamente! Abraços!

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Débora

Há mais de um mês

Obrigada pela ajuda Rodrigo!

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas