Os pontos (a,11) e (5,b) são vértices consecutivos de um losango cujas diagonais se intersectam no ponto (1,3). Dado que as diagonais desse losango são paralelas aos eixos coordenados, calcule a área do losango em questão.
sabe-se que a interseção Q das diagonais é dada por Q(1,3). Podemos achar PQ e P’Q
PQ=(1-a,-8) e P’Q=(-4,3-b). Como elas são paralelas aos eixos coordenados:
1) PQ=(1-a,-8), P( a,11), como a coordenada conhecida em ambos os pontos(Ordenadas) se difere, obrigatoriamente por PQ ser paralelo aos eixos coordenados, as coordenadas das Absissas serão iguais, fazendo com que PQ seja paralelo ao eixo ordenado
1-a=a
a=1/2
Pelo mesmo raciocínio, P’Q será paralelo ao eixo das absissas:
3-b=b
b=3/2
PQ=(1/2,-8) e P'Q=(-4,3/2)
A área do quadrante do losango pode se dar pela metade de |PQ xP’Q| vetorial :
|PQ xP’Q|=|3/4k-32k|=31,25
O losango total tera 4 vezes a área de cada quadrante, ou seja, 2 vezes |PQ xP’Q|
AL=2x(31,25)=62,5 u.a
Como as diagonais são paralelas aos eixos, temos:
\(x_A=x_O\Rightarrow a=1\\ y_B=y_O\Rightarrow b=3\)
Os segmentos AO e BO são semi-diagonais, dessa forma podemos calcular a área a partir da seguinte fórmula:
\(\begin{align} A&={1\over2}d_1d_2\\ &=2\left({d_1\over2}\right)\left({d_2\over2}\right)\\ &=2(11-3)(5-1) \end{align}\)
Temos, portanto, a área do losango:
\(\boxed{A=64}\)
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Geometria Analítica
•UNINASSAU VITÓRIA DA CONQUISTA
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