preciso de ajuda neste exercício y''+y''=sen^2 x

Uma forma alternativa seria:

\(y'' = \frac{sen^2x}{2}\)

A solução y(x) será a soma de solução geral da homogênea com uma solução particular encontrada. No caso homogêneo, teremos simplesmente:

\(y'' = 0\)

Cuja solução geral é trivial, polinomial:

\(y_g(x) = k_1 x + k_2\) (\(k_1, k_2\) são constantes)

Para inspecionar uma solução particular, podemos testar a combinação linear de um polinômio de segundo grau com o análogo trigonométrico:

\((y_p)'' = \frac{sen^2x}{2} \\ (ax^2 + bx + c + d \cdot cos^2(x))'' = \frac{sen^2x}{2}\)

Com auxílio da Relação Fundamental, teremos:

\((ax^2 + bx + c + d \cdot cos^2(x))'' = \frac{1 - cos^2(x)}{2}\)

E após a derivação e comparação termo a termo, teremos:

\(a = \frac{1}{8}, \ b = 0, \ c = 0, \ d = \frac{1}{8}\)

Assim, a solução particular é:

\(y_p(x)= \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{8} \cdot cos^2(x)\)

A solução y(x) é, portanto:

\(y(x) = y_g + y_p \\ \boxed{y(x) = k_1 x + k_2 + \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{8} \cdot cos^2(x)}\)