A solução da equação y''+y'-6y=0, é uma função que atende às condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0. Então o valor aproximado desta solução para x=1, é:

4,5 com certeza

A solução é homogênea. Podemos apelar à equação característica:

\(\lambda^2 + \lambda - 6 = 0\)

Por soma e produto, ou Bhaskara, \(\lambda = 2\) ou \(\lambda = -3\). Logo, a solução geral é do tipo:

\(y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}\)

Como uma das condições iniciais é dada em função da derivada, torna-se relevante escrevê-la:

\(y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-3x}\)

Aplicando as condições, teremos:

\(y(0) = 1 = C_1e^0 + C_2e^0 \\ y'(0) = 0 = 2C_1e^0 - 3C_2e^0\)

\(C_1 + C_2 = 1 \\ 2C_1 - 3C_2 = 0\)

O sistema anterior tem solução simples. Isolando \(C_1\) na segunda equação e substituindo na primeira, obtemos:

\(\frac{3}{2} C_2 + C_2 = 1 \\ C_2 = \frac{2}{5}\)

De onde sai:

\(C_1 = \frac{3}{5}\)

Finalmente, a solução é escrita como:

\(y(x) = \frac{3}{5} e^{2x} + \frac{2}{5} e^{-3x}\)

Para x = 1, o valor aproximado será:

\(y(1) = \frac{3}{5} e^{2} + \frac{2}{5} e^{-3} \\ \boxed{y(1) \approx 4,45}\)

Olá. Sou o Luiz, estou graduando em eng civil e resolvo questões de diversas matérias da área de exatas. Muitos da Uniube já utilizaram dos meus serviços e continuo procurando por alunos. Se interessar, entre em contato pelo whatsapp: 31 98464-2756. Abç