Question

Encontrar a solução em série da EDO abaixo ?

y"+y=0

Desde já agradeço.

Answer 1

RD Resoluções

Há mais de um mês

Escrevendo $y$ e $y''$ em series de potencias, temos:

$y=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ y'=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^n)'= \sum_{n=0}^{+\infty}a_nnx^{n-1}=\\\sum_{n=1}^{+\infty}a_nnx^{n-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)x^n\\ y''=(y')'=\left[\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)x^n\right]'=\sum_{n=0}^{+\infty}\left[a_{n+1}(n+1)x^n\right]'=\\ \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n$

Colocando na igualdade:

$(1-x)y''=y\\ (1-x)\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-x\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$

Comparando $x$ com $x$ , $x^2$ com $x^2$ e manipulando a expressão transformando o segundo somatório, temos:

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$

Portanto,

$a_{n+2}(n+2)(n+1)-a_{n+1}(n+1)n=a_n,n=0,1,2,3,4,\cdots\\ a_{n+2}=\dfrac{a_n+a_{n+1}(n+1)n}{(n+2)(n+1)}$