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Como resolver lim x-->0 cos x/ x^2-x ?

💡 1 Resposta

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Leandro Cesar

Nesse caso você pode substituir o x por 0 e assim o resultado final será + infinito.

cos(0) = 1 e 0² - 0 tende a 0, portanto o valor final tenderá ao a + infinito.

Porém quando você substitui e essa substituição dá uma indeterminação (exemplo: 0/0) então seria necessário outro procedimento prara se encontrar esse limite. 

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RD Resoluções

 Olá! Pois bem, há várias maneiras de se resolver este limite. Primeiramente, façamos o seguinte: podemos simplificar o denominador da fração para melhor perceber as relações entre ele e o numerador, o limite fica: \(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{cos(x)}{x*(x-1)}\)

 Podemos perceber que \(\lim_{x\rightarrow 0} {cos(x)}=1\) já que, por simples substituição, \(cos(0)=1\), não havendo diferença nenhuma entre os limites laterais desta função (\(cos\) é uma função contínua). Em seguida vemos que, também por simples substituição, \(\lim_{x\rightarrow 0} {x*(x-1)}=0\) . Como a não ser que o resultado do numerador da fração de um limite tenda a zero, se o denominador dessa fração tender a zero então o resultado do limite diverge, já podemos inferir que ou este limite é \(+\infty\) , ou ele é \(-\infty\), ou ele não existe (caso os limites laterais não coincidam). Perceba que, como \(cos(-x)=cos(x)\), o sinal dos limites laterais fica relegado ao resultado do denominador da fração. E, como \(\lim_{x\rightarrow 0^+} {\frac{1}{[x*(x-1)]}}=\infty, \lim_{x\rightarrow 0^-} {\frac{1}{[x*(x-1)]}}=-\infty\) asim, os limites laterais divergem para lados opostos, o que confirma o fato de que este limite não existe.

 Outra forma de resolvê-lo é através da propriedade que afirma que o produto dos limites é igual o limite dos produtos, assim: \(\lim_{x\rightarrow 0} {\frac{cos(x)}{x^2-x}}=[\lim_{x\rightarrow 0} {cos(x)}]*[\lim_{x\rightarrow 0} {\frac{1}{(x^2-x)}}]=1*[\lim_{x\rightarrow 0} {\frac{1}{(x^2-x)}}]\). Mas, como já vimos, os limites laterais não convergem, então este limite não existe. Espero ter ajudado.

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