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Como calcular a expressão genérica T(x,y)?

Tenho uma tranformação linear de R² -> R³.

T(-2,3) = (-1,0,1)
T(1,-2) = (0,-1,0)

Quero a expressão genérica de T. T(x,y). 

 

A resposta é T(x,y) = (2x+y, 3x+2y, -2x-y). Gostaria de saber como fazer para encontrar. Desde já agradeço!

 


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Seja \(v_1 = (-2,3)\) e \(v_2 = (1, -2)\). Logo:

\((x,y) = \alpha v_1 + \beta v_2 \\ \begin{cases} -2 \alpha + \beta = x \\ 3 \alpha - 2 \beta = y \end{cases}\)

No sistema anterior, podemos multiplicar a primeira equação por dois e somá-la com a segunda equação:

\(- \alpha = 2x + y \\ \alpha = -2x - y\)

Substituindo \(\alpha\) na primeira equação nos dá:
\(4x + 2y + \beta = x \\ \beta = -3x - 2y\)

Finalmente, teremos:

\(T(x,y) = \alpha T(v_1) + \beta T(v_2) \\ T(x,y) = (-2x - y)(-1,0,1) + (-3x - 2y)(0,-1,0) \\ \boxed{T(x,y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x - y)}\)

Seja \(v_1 = (-2,3)\) e \(v_2 = (1, -2)\). Logo:

\((x,y) = \alpha v_1 + \beta v_2 \\ \begin{cases} -2 \alpha + \beta = x \\ 3 \alpha - 2 \beta = y \end{cases}\)

No sistema anterior, podemos multiplicar a primeira equação por dois e somá-la com a segunda equação:

\(- \alpha = 2x + y \\ \alpha = -2x - y\)

Substituindo \(\alpha\) na primeira equação nos dá:
\(4x + 2y + \beta = x \\ \beta = -3x - 2y\)

Finalmente, teremos:

\(T(x,y) = \alpha T(v_1) + \beta T(v_2) \\ T(x,y) = (-2x - y)(-1,0,1) + (-3x - 2y)(0,-1,0) \\ \boxed{T(x,y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x - y)}\)

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Marina

Há mais de um mês

Fui na aula e eles me responderam (errado e eu tive que fazer denovo)!
Não posso deixar de publicar aqui, caso também estejam com a mesma dúvida! É assim:

T(-2,3) = (-1,0,1)
T(1,-2) = (0,-1,0)

(x,y) = a (-2,3) +b (1,-2)
-2a + b = x
3a - 2b = y

resolvendo o systema, temos 
a = -2x-y
b = -3x-2y

 

agora, aplicamos a T dos dois lados, com a e b encontrados:

T(x,y) = a T (-2,3) +b T (1,-2)

T(x,y) = (-2x-y)(-1,0,1) + (-3x-2y)(0,-1,0)

T(x,y) = (2x+y,3x+2y,-2x-y)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas