Tenho uma tranformação linear de R² -> R³.
T(-2,3) = (-1,0,1)
T(1,-2) = (0,-1,0)
Quero a expressão genérica de T. T(x,y).
A resposta é T(x,y) = (2x+y, 3x+2y, -2x-y). Gostaria de saber como fazer para encontrar. Desde já agradeço!
Fui na aula e eles me responderam (errado e eu tive que fazer denovo)!
Não posso deixar de publicar aqui, caso também estejam com a mesma dúvida! É assim:
T(-2,3) = (-1,0,1)
T(1,-2) = (0,-1,0)
(x,y) = a (-2,3) +b (1,-2)
-2a + b = x
3a - 2b = y
resolvendo o systema, temos
a = -2x-y
b = -3x-2y
agora, aplicamos a T dos dois lados, com a e b encontrados:
T(x,y) = a T (-2,3) +b T (1,-2)
T(x,y) = (-2x-y)(-1,0,1) + (-3x-2y)(0,-1,0)
T(x,y) = (2x+y,3x+2y,-2x-y)
Seja \(v_1 = (-2,3)\) e \(v_2 = (1, -2)\). Logo:
\((x,y) = \alpha v_1 + \beta v_2 \\ \begin{cases} -2 \alpha + \beta = x \\ 3 \alpha - 2 \beta = y \end{cases}\)
No sistema anterior, podemos multiplicar a primeira equação por dois e somá-la com a segunda equação:
\(- \alpha = 2x + y \\ \alpha = -2x - y\)
Substituindo \(\alpha\) na primeira equação nos dá:
\(4x + 2y + \beta = x \\
\beta = -3x - 2y\)
Finalmente, teremos:
\(T(x,y) = \alpha T(v_1) + \beta T(v_2) \\ T(x,y) = (-2x - y)(-1,0,1) + (-3x - 2y)(0,-1,0) \\ \boxed{T(x,y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x - y)}\)
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