o conjunto imagem da funçao f(x)=a+b*cos(bx+a) é [-3;7].determine o periodo dessa funcao

a

Vamos determinar inicialmente a imagem dessa função baseado em seus parâmetros. Da trigonometria, temos:

\(-1\leq cos(bx+a)\leq1\)

Multiplicando por \(b\), temos:

\(-b\leq b\cdot cos(bx+a)\leq b\)

Somando \(a\), temos:

\(a-b\leq a+b\cdot cos(bx+a)\leq a+b\)

Ou seja, temos o conjunto imagem:

\(I = [a-b;a+b]\)

Comparando com o conjunto imagem dado, temos:

\(I = [a-b;a+b]=[-3;7]\)

Escrevendo em forma de sistema de equações, temos:

\(\begin{cases} a-b=-3&\\ a+b=7& \end{cases}\)

Somando as equações, temos:

\(2a = 4\Rightarrow a=2\)

Substituindo na segunda equação, temos:

\(2+b=7\Rightarrow b=5\)

Substituindo os parâmetros na função, temos:

\(f(x)=a+b\cdot cos(bx+a)=2+5\cdot cos(5x+2)\)

Para o período da função cosseno, temos:

\(g(x)=cos(\omega x+\phi)\Rightarrow P={2\pi\over\omega}\)

Para o nosso caso, temos:

\(\boxed{P={2\pi\over5}}\)