Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60o, marque a alternativa que indica o ângulo formado pelos vetores -u e v.

Pelo que consegui imaginar, seria 240º

Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre vetores. Os vetores \(u\) e \(v\) podem ser apresentados em função dos eixos i e j, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \overrightarrow u=(u_i) \overrightarrow i+ (u_j) \overrightarrow j\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow v=(v_i) \overrightarrow i+ (v_j) \overrightarrow j\)

Sabe-se que o produto escalar entre dois vetores é encontrado de duas forma:

\(\Longrightarrow \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v=|\overrightarrow u||\overrightarrow v|\cos\theta\)   \((I)\)

ou:

\(\Longrightarrow \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v=u_iv_i+u_jv_j\)    \((II)\)

Igualando as equações \((I)\) e \((II)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow |\overrightarrow u||\overrightarrow v|\cos\theta=u_iv_i+u_jv_j\)

\(\Longrightarrow \cos\theta={u_iv_i+u_jv_j \over |\overrightarrow u||\overrightarrow v|}\)             \((III)\)

No enunciado, é dito que o ângulo entre os vetores é \(\theta_1=60^\circ\). Então:

\(\Longrightarrow \cos\theta_1={u_iv_i+u_jv_j \over |\overrightarrow u||\overrightarrow v|}\)     \((IV)\)

O exercício pede o ângulo entre os vetores \(-\overrightarrow u\) e \(\overrightarrow v\). O vetor \(-\overrightarrow u\) em função dos eixos i e j fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow -\overrightarrow u=(-u_i) \overrightarrow i+ (-u_j) \overrightarrow j\)

O módulo do vetor \(\overrightarrow u\) é \(|\overrightarrow u|=\sqrt {u_i^2+u_j^2}\). E o módulo do vetor \(-\overrightarrow u\) é:

 \(\Longrightarrow |-\overrightarrow u|=\sqrt {(-u_i)^2+(-u_j)^2}\)

 \(\Longrightarrow |-\overrightarrow u|=\sqrt {u_i^2+u_j^2}\)

\(\Longrightarrow |-\overrightarrow u|=| \overrightarrow u|\)   \((V)\)

Portanto, o módulo do vetor continua o mesmo.

Agora, a equação \((III)\) será reescrita para os vetores \(-\overrightarrow u\) e \(\overrightarrow v\). Sendo \(\theta_2\) o ângulo entre os vetores \(-\overrightarrow u\) e \(\overrightarrow v\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \cos\theta_2={(-u_i)v_i+(-u_j)v_j \over |-\overrightarrow u||\overrightarrow v|}\)

\(\Longrightarrow \cos\theta_2={-(u_iv_i+u_jv_j) \over |-\overrightarrow u||\overrightarrow v|}\)

Conhecendo as equações \((IV)\) e \((V)\), a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \cos\theta_2=-{(u_iv_i+u_jv_j) \over |\overrightarrow u||\overrightarrow v|}\)

\(\Longrightarrow \cos\theta_2=-\cos \theta_1\)

Conhecendo o ângulo \(\theta_1=60^\circ\), o valor do novo ângulo \(\theta_2\) é:

\(\Longrightarrow \cos\theta_2=-\cos (60^\circ)\)

\(\Longrightarrow \cos\theta_2=-0,5\)

\(\Longrightarrow \theta_2=\arccos(- 0,5)\)

\(\Longrightarrow \fbox{$\theta_2=120^\circ$}\)