Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2-3+4 no ponto (1, f(1))

x=1

f(1)=1²-3+4 = 2

f'(x)=2x

f'(1)=2

Equação da reta tangente no ponto (1,2):

y=f(1)+f'(1)(x-1)

y=2+2(x-1)

y=2+2x-2

y=2x

Uma reta tangente a um gráfico compartilha com esse um ponto que, nesse caso é o ponto \(P=(1,f(1))\). Assim, para obter a equação da reta tangente, basta descobrirmos qual a coordenada desse ponto e o coeficiente angular da reta.

Sabemos então que \(x=1\) e \(y=f(1) \)e podemos descobrir o valor de \(f(1)\) apenas subtituindo \(x=1\) na equação \(f(x)=x^2-3x+4:\)

\(f(1)=1^2-3.1+4\\ f(1)=1-3+4\\ f(1)=2\)

Portanto, o ponto P é \(P=(1,2)\)

O coeficiente angular m  pode ser obtido derivando a equação\( f(x)=x^2-3x+4\) com o uso das regras de derivação. Assim:

\(m=f'(x)=2x^1- 3 + 0\\ m=2x - 3\)

Aplicando no ponto \(P (1,2)\):

\(m=2.1 - 3 = -1\)

Portanto, usando a equação da reta temos:

\(y-y_0 = m(x-x+0)\\ y-2 = -1(x-1)\)

Assim, a equação da reta tangente é:

\(\boxed{y = -x+3}\)