Seja a função f(x,y) = 1/(xy) determine os pontos críticos dessa função.

Creio que essa função não tenha pontos críticos. Estes são pontos do interior do domínio da função que anulam o gradiente. É fácil calcular ∇f = (-1⁄x²y, -1⁄xy²). Note que nenhum ponto do domínio anula o gradiente (o Domínio da função é o R² menos os eixos x e y)

Derivando em relação a \(x\):

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{xy}\right)\)

y é tratado como constante:

\(\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)

\(\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)\\ \frac{1}{y}\left(-1\cdot \:x^{-1-1}\right)\\ -\frac{1}{x^2y}\)

Da mesma forma a derivada em relação a \(y\) será:

\(-\frac{1}{y^2x}\)

igualando a zero:

\(-\frac{1}{x^2y}=0\\ x=0 \:\:\ =0\)

Mass, essa função não é definida em \(x=0\) e \(y=0\) e podemos dizer que essa função não possui pontos críticos.