Integral de sen^5xdx

∫(sen(x))^5 dx = ∫sen(x)(sen(x))^4 dx. Sabendo que sen²(x)=1-cos²(x)dx e tomando u=cos(x) ⇒ du=-sen(x)dx, temos:  

∫sen(x)(sen(x))^4 dx = ∫-(1-u²)²du

                                = ∫-(1-2u²+u^4)du

                                = ∫(-1+2u²-u^4) du

                                = -u+(2/3)u³-(1/5)u^5

                                = -cos(x)+(2/3)cos³(x)-(1/5)cos^5(x)+k

Vamos calcular a segunte integral:

\(I=\int sen^5x\ dx\)

Podemos reescrever a função usando a relação fundamental da trigonometria:

\(I=\int sen\ x\ sen^4x\ dx=\int sen\ x\ (1-cos^2x)^2\ dx\)

Fazendo \(u=-cos\ x\Rightarrow du= sen\ x\ dx\), temos:

\(I=\int (1-u^2)^2\ du=\int 1-2u^2+u^4\ du\)

Usando regra do tombo inversa, sem esquecer da constante de integração, temos:

\(I=u-{2\over3}u^3+{1\over5}u^5+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{I=-cos\ x+{2\over3}cos^3\ x-{1\over5}cos^5\ x+C}\)