Boa noite Rogerio Cunha!
Na questão o "justifique" se interpretei de forma correta seria verificar se é possível existir um triângulo que corresponda essas informações.
Como na questão vc citou "cateto" presumo que seja um triângulo retângulo. Vamos ver o que dá para fazer então:
Temos: BM = 6 e PB + PM = 12
I. Triângulo retângulo de hipotenusa PM: usando teorema de pitágoras temos o seguinte.
PM² = PB² + BM² , sabemos que BM = 6
PM² - PB² = 36, sabemos por produto notáveis que a² - b² = (a + b)(a - b)
(PM + PB)(PM - PB) = 36, sabemos que PM + PB = 12
(PM - PB) = 36/12 = 3
II. Temos o sistema:
PM + PB = 12
PM - PB = 3, somando as equações temos:
2PM = 15 => PM = 15/2
III. PM + PB = 12
15/2 + PB = 12
PB = 12 - 15/2
PB = 9/2
Pelas informações dadas descobrimos que o triângulo retângulo com Hipotenusa = 15/2 e catetos 6 e 9/2 corresponde as condições impostas pela questão. Espero ter ajudado!
Não foi possível compreender exatamente qual a pergunta do enunciado, mas vamos verificar se as informações procedem.
Seja o triângulo abaixo:
Onde: \(PM=H\) , \(PB=y\) e \(BM=6\)
Por pitagóras temos:
\(H^2=y^2+6^2\\ H^2=y^2+36\\ \)
Mas, o enunciado nos forneceu que \(PM+PB=12\), ou seja, \(H+y=12\).Logo:
\(H+y=12\\ H=12-y\\ \)
Elevando ao quadrado:
\( H^2=(12-y)^2\\ H^2=144-24y+y^2\)
Substituindo na fórmula de pitagóras:
\(H^2=y^2+36\\ 144-24y+y^2=y^2+36\\ 144-24y=36\\ 144-36=24y\\ y=\frac{108}{24}\\ y=4,5\)
Substituindo em \(H+y=12\), temos:
\(H+y=12\\ H+4,5=12\\ H=12-4,5\\ H=7,5\)
Como não houve nenhum absurdo nas contas e nem mesmo nenhum conflito, podemos dizer que todas as afirmações do enunciado são verdadeiras.
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