determine a derivada da seguinte função composta: y=(x^2+5x+2)^7

Para esse exercício, usaremos a "regra da cadeia", dada pela seguinte expressão:

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\)

Considerando  \(y=u^7\), temos:

\(\begin{align} \dfrac{dy}{du} &= \dfrac{d}{du}\left(u^7\right)\\ &=7u^{7-1}\\ &=7u^6 \end{align}\)

E considerando \(u = x^2+5x+2\) , temos:

\(\begin{align} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{d}{dx}\left(x^2+5x+2\right)\\ &= \dfrac{d}{dx}\left(x^2\right)+\dfrac{d}{dx}\left(5x\right)+\dfrac{d}{dx}\left(2\right)\\ &=2x^{2-1}+5x^{1-1}+0\\ &=2x+5 \end{align}\)

Substituindo as expressões na regra da cadeia, temos:

\(\dfrac{dy}{dx} = \left(7u^6\right)\cdot\left(2x+5\right)\)

Substituindo o valor de \(u\) na expressão, temos:

\(\boxed{\dfrac{dy}{dx} =7\left(x^2+5x+2\right)^6\left(2x+5\right)}\)

f(x) = (x²+5x+2)^7 

f´(x) = 7. (u)^6 . (u´)   =>   f´(x)= 7. (x²+5x+2)^6 . ( 2x + 5 )   Derivada !