Calcule a integral Z 2 0 √ x 2 − 4dx.

Coloca nesta calculadora de integral definida que ela resolve passo a passo: https://es.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator

Vamos resolver a seguinte integral:

$$I=\int 20\sqrt{x^2-4}\, dx$$

Tomemos $x=2\sec\theta\Rightarrow dx=2\tan\theta\sec\theta\, d\theta$:

$$I=\int 40\sqrt{4\sec^2\theta-4}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta =\int 40\sqrt{4(\sec^2\theta-1)}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta$$

Lembremos da relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow \tan^2\theta+1=\sec^2\theta\Rightarrow\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$$

Substituindo na integral, temos:

$$I =\int 40\sqrt{4\tan^2\theta}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta = \int 80\tan^2\theta\sec\theta\ d\theta$$

Mas como já vimos $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$:

$$I = \int 80(\sec^2\theta-1) \sec\theta\ d\theta = 80\int \sec^3\theta\, d\theta- 80\int\sec\theta\ d\theta=80I_1-80I_2$$

Vamos calcular a primeira das integrais por partes, tomando $u=\sec\theta\Rightarrow du=\sec\theta\tan\theta\, d\theta$ e $dv=\sec^2\theta\, d\theta\Rightarrow v=\tan\theta$:

$$I_1=\sec\theta\tan\theta-\int\sec\theta\tan^2\theta\, d\theta$$

Mas dois passos atrás vimos que essa é a integral que resulta em $I$:

$$I_1 =\sec\theta\tan\theta –{I\over80}$$

Substituindo na expressão da integral total, temos:

$$I=80I_1-80I_2=80\sec\theta\tan\theta -I-80\int\sec\theta\ d\theta \Rightarrow 2I=80\sec\theta\tan\theta -80\int\sec\theta\ d\theta$$

Para a integral restante, multipliquemos o numerador e o denominador por $\tan\theta+\sec\theta$:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\int{\sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta\over\sec\theta+\tan\theta}\ d\theta$$

Temos então que o numerador é o diferencial do denominador. Façamos $u=\sec\theta+\tan\theta\Rightarrow du=\sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta d\theta$:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\int{du\over u}=40\sec\theta\tan\theta -40\ln u+C$$

Temos agora que retornar às variáveis originais:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\ln\left(\sec\theta+\tan\theta\right)+C$$

A seguir $\sec\theta={x\over2}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{\sec^2\theta-1}={1\over2}\sqrt{x^2-4}$:

$$I=40\cdot{x\over2}\cdot{1\over2}\sqrt{x^2-4} -40\ln\left({x\over2}+{1\over2}\sqrt{x^2-4}\right)+C$$

Temos finalmente:

$$\boxed{\int 20\sqrt{x^2-4}\, dx =10x\sqrt{x^2-4} -40\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)+C}$$

Nesse exercício vamos estudar o método de substituição para resolução de integral.

Vamos resolver a seguinte integral:

$$I=\int 20\sqrt{x^2-4}\, dx$$

Tomemos $x=2\sec\theta\Rightarrow dx=2\tan\theta\sec\theta\, d\theta$:

$$I=\int 40\sqrt{4\sec^2\theta-4}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta =\int 40\sqrt{4(\sec^2\theta-1)}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta$$

Lembremos da relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\Rightarrow \tan^2\theta+1=\sec^2\theta\Rightarrow\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$$

Substituindo na integral, temos:

$$I =\int 40\sqrt{4\tan^2\theta}\, \tan\theta\sec\theta\, d\theta = \int 80\tan^2\theta\sec\theta\ d\theta$$

Mas como já vimos $\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$:

$$I = \int 80(\sec^2\theta-1) \sec\theta\ d\theta = 80\int \sec^3\theta\, d\theta- 80\int\sec\theta\ d\theta=80I_1-80I_2$$

Vamos calcular a primeira das integrais por partes, tomando $u=\sec\theta\Rightarrow du=\sec\theta\tan\theta\, d\theta$ e $dv=\sec^2\theta\, d\theta\Rightarrow v=\tan\theta$:

$$I_1=\sec\theta\tan\theta-\int\sec\theta\tan^2\theta\, d\theta$$

Mas dois passos atrás vimos que essa é a integral que resulta em $I$:

$$I_1 =\sec\theta\tan\theta –{I\over80}$$

Substituindo na expressão da integral total, temos:

$$I=80I_1-80I_2=80\sec\theta\tan\theta -I-80\int\sec\theta\ d\theta \Rightarrow 2I=80\sec\theta\tan\theta -80\int\sec\theta\ d\theta$$

Para a integral restante, multipliquemos o numerador e o denominador por $\tan\theta+\sec\theta$:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\int{\sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta\over\sec\theta+\tan\theta}\ d\theta$$

Temos então que o numerador é o diferencial do denominador. Façamos $u=\sec\theta+\tan\theta\Rightarrow du=\sec^2\theta+\sec\theta\tan\theta d\theta$:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\int{du\over u}=40\sec\theta\tan\theta -40\ln u+C$$

Temos agora que retornar às variáveis originais:

$$I=40\sec\theta\tan\theta -40\ln\left(\sec\theta+\tan\theta\right)+C$$

A seguir $\sec\theta={x\over2}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{\sec^2\theta-1}={1\over2}\sqrt{x^2-4}$:

$$I=40\cdot{x\over2}\cdot{1\over2}\sqrt{x^2-4} -40\ln\left({x\over2}+{1\over2}\sqrt{x^2-4}\right)+C$$

Temos finalmente:

$$\boxed{\int 20\sqrt{x^2-4}\, dx =10x\sqrt{x^2-4} -40\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)+C}$$