Determine a derivada do logaritmo f(x)= log6 (3x^3+7) NB.. 6 é a base do log.

Para resolver esse exercício, vamos primeiro lembrar da propriedade de mudança de base dos logarítmos:

\(log_bx = {\ln x \over \ln b}\)

Podemos agora reescrever a função dada:

\(\begin{align} f(x)&= log_6 \left(3x^3+7\right)\\ &={1 \over \ln 6}\cdot\ln \left(3x^3+7\right) \end{align} \)

Vamos fazer a substituição \(u=3x^3+7\) para usarmos a "regra da cadeia":

\({df\over dx} = {df\over du}\cdot{du\over dx}\)

Para \({df \over du}\), temos:

\(\begin{align} {df \over du} &= {d \over du}\left({1 \over \ln 6}\cdot\ln u\right)\\ &= {1 \over \ln 6}\cdot{1\over u} \end{align}\)

Para \({du \over dx}\), temos:

\(\begin{align} {du \over dx} &= {d \over du}\left(3x^3+7\right)\\ &= {d \over du}\left(3x^3\right)+{d \over du}\left(7\right)\\ &= \left(3\cdot 3x^{3-1}\right)+0\\ &= 9x^2 \end{align}\)

Substituindo na expressão da regra da cadeia, temos:

\(\begin{align} {df\over dx} &= {df\over du}\cdot{du\over dx}\\ &= {1\over u\ln 6}\cdot 9x^2 \end{align}\)

Substituindo \(u\) por sua definição, temos finalmente:

\(\boxed{ {df\over dx} = {9x^2\over \left(3x^3+7\right)\ln 6} }\)

Passo a passo na calculadora:

https://es.symbolab.com/solver/derivative-calculator/%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft(%5Clog_%7B6%7D%5Cleft(3x%5E%7B3%7D%2B7%5Cright)%5Cright)