Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.

2/t + 2bcotgt + tgt

Neste exercício, será analisada uma dada função \(w\) e será calculada sua derivada \({dw \over dt}\). Para isso, será utilizada a Regra da Cadeia, cuja equação está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow {dw \over dt}={dw \over dx}{dx \over dt}+{dw \over dy}{dy \over dt}+{dw \over dz}{dz \over dt}\)   \((I)\)

É necessário calcular as derivadas do lado direito da equação anterior. Sendo \(w={\ln(x^2y^2) \over z}\), a derivada de \(w\) em \(x\), \(y\) e \(z\) são:

\(\Longrightarrow {dw \over dx}={d \over dx}{\ln(x^2y^2) \over z}= {1 \over z}{d \over dx}\ln(x^2y^2) = {1 \over z}\bigg [ {1 \over x^2y^2}{d \over dx}(x^2y^2) \bigg ]= {1 \over z}{1 \over x^2y^2}(2xy^2)\)           \(\rightarrow {dw \over dx} = {2 \over xz}\)            \((II)\)

\(\Longrightarrow {dw \over dy}={d \over dy}{\ln(x^2y^2) \over z}= {1 \over z}{d \over dy}\ln(x^2y^2) = {1 \over z}\bigg [ {1 \over x^2y^2}{d \over dy}(x^2y^2) \bigg ]= {1 \over z}{1 \over x^2y^2}(2x^2y)\)            \(\rightarrow {dw \over dy} = {2 \over yz}\)           \((III)\)

\(\Longrightarrow {dw \over dz}={d \over dz}{\ln(x^2y^2) \over z}= \ln(x^2y^2){d \over dz}z^{-1} = \ln(x^2y^2)(-1)z^{-1-1} = - \ln(x^2y^2)z^{-2}\)    \(\rightarrow {dw \over dz} = - {\ln(x^2y^2) \over z^2} \)   \((IV)\)

Sendo \(x=at\), \(y=\sin (bt)\) e \(z=\cos (t)\), suas derivadas em \(t\) são:

\(\Longrightarrow {dx \over dt}={d \over dt}(at) = a{dt \over dt}\)                          \(\rightarrow {dx \over dt}=a\)                  \((V)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dt}={d \over dt}(\sin(bt)) = \cos(bt){d(bt) \over dt}\)       \(\rightarrow {dy \over dt} = b \cdot \cos(bt)\)    \((VI)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dt}={d \over dt}(\cos(t)) = -\sin(t){dt \over dt}\)          \(\rightarrow {dy \over dt} -\sin(t)\)          \((VII)\)

Substituindo as equações de \((II)\) a \((VII)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {dw \over dt}={dw \over dx}{dx \over dt}+{dw \over dy}{dy \over dt}+{dw \over dz}{dz \over dt}\)

\(\Longrightarrow {dw \over dt}={2 \over xz}(a)+{2 \over yz}[b \cdot \cos(bt)]+\bigg [- {\ln(x^2y^2) \over z^2} \bigg][-\sin(t)]\)

\(\Longrightarrow {dw \over dt}={2a \over xz}+{2b \cos(bt) \over yz}+ {\ln(x^2y^2)\cdot \sin(t)\over z^2}\)

Concluindo, pela Regra da Cadeia, a derivada \({dw \over dt}\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dw \over dt}={2a \over xz}+{2b \cos(bt) \over yz}+ {\ln(x^2y^2)\cdot \sin(t)\over z^2} $}\)

Infelizmente precisamos de uma nova plataforma pois no passeidireto não dá mais