Dados o ponto P(0,1.2) e os planos a1 :x+y-z=0 e a2 :2x+2y+z+1+0, encontre a equação do plano que passa pelo ponto P e é ortogonal aos planos a1 e

Como o plano que queremos encontrar é ortogonal ao plano a1 e a2, então seu vetor normal n é ortogonal aos vetores normais de a1 e a2. Um vetor normal de a1 é n1 := (1, 1, -2), e de a2 é n2 := (2, 2, 1). O vetor n pode, então, ser o produto vetorial de n1 e n2:

                       | i   j   k |
n = n1 x n2 = | 1  1 -2 | = i (1 + 4) - j (1 + 4) + k (0) = (5, -5, 0)
                       | 2  2  1 |

Assim, a equação do plano fica:

5x - 5y + d = 0

Como temos um ponto P pertencente ao plano, podemos achar d:

5(0)- 5(1) + d = 0  ⇒  d = 5

Logo, a equação do plano é:

5x - 5y + 5 = 0

x - y + 1 = 0