calcule em m3 o volume do tetraedro formado pelos vertices A(0,-1,4) B(-2,2,5) C(1,1,3) e D(=1,5,4)

lembrar que o volume é o modulo do determinante do produto misto, ou seja, mesmo dando um numero negativo (-11), deve-se transforma-lo em positivo (11)

O volume é dado por 1/6 do produto misto AB, AC, AD:

Antes de calcular o produto misto, precisamos calcular os vetores AB, AC, AD.

Lembrando que a fórmula para calcular esses vetores é:

AB = (Xb - Xa, Yb - Ya, Zb - Za)

Então, temos:

AB = (-2-0, 2-(-1), 5-4) = (-2, 3, 1)

AC = (1-0, 1-(-1), 3-4) = (1, 2, -1)

AD = (1-0, 5-(-1), 4-4) = (1, 6, 0)

Para calcular o produto misto precisamos calcular o determinante da matriz formada pelos vetores calculados anteriormente:

Det M = | -2  3  1 | 

             |  1  2 -1 | 

             |  1  6  0 | 

Isso dará -11

Volume = 1/6 * 11 = 11/6

Sabemos que:

\(\overrightarrow{AB}=B-A \\=(-2,2,5)-(0,-1,4) \\=(--2,2,5)+(0,1,-4) \\=(-2,3,1)\),

\(\overrightarrow{AC}=C-A \\=(1,1,3)-(0,-1,4) \\=(1,1,3)+(0,1,-4) \\=(1,2,-1)\) e 

\(\overrightarrow{AD}=D-A \\=(1,5,4)-(0,-1,4) \\=(1,5,4)+(0,1,-4) \\=(1,6,0)\)

Como o volume do tetraedro é dado pelo módulo do pruduto misto dividido por 6, isto é:

\(V_{tetraedro}=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AD|}\)

Logo, primeiro calculamos:

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\\ =\begin{pmatrix} i & j &k \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\=-5i-j-7k \)

Assim temos que:

\(V_{tetraedro}=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AD|} \\=\frac{1}{6}|(1,6,0).(-5,-1,-7)|=\frac{11}{6}\)