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Prove que um segmento que une os pontos dos lados não paralelos de um trapezio é paralelo ás bases, e a sua medida é a semissoma das medidas da base

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A figura abaixo ilustra o trapézio ABCD, sendo M e N os pontos médios, respectivamente, de AD e BC.
 

figura.png

Sabemos que:

M = \frac{A+D}{2}

N = \frac{B+C}{2}

Temos então que:

\overrightarrow{MN} = N - M = \frac{B+C}{2} - \frac{A+D}{2} = \frac{B - A}{2} + \frac{C - D}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}

Como \overrightarrow{AB} // \overrightarrow{DC}, existe um escalar k (diferente de zero, pois \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC} não são vetores nulos), tal que \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC} .

Sendo assim, temos que:

\overrightarrow{MN} = \left(\frac{k}{2} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}

Como \overrightarrow{MN} = m \overrightarrow{DC} , com m = \frac{k}{2} + \frac{1}{2}, temos que \overrightarrow{MN} // \overrightarrow{DC} . Já que também temos que \overrightarrow{DC} // \overrightarrow{AB} , teremos então que \overrightarrow{MN} // \overrightarrow{AB} .

Por outro lado, temos que:

\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC} \implies \left\|\overrightarrow{AB}\right\| =\left\| k\overrightarrow{DC}\right\| \implies \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} = |k|

Note que essa divisão não tem problema, pois os vetores não são nulos. Além disso, como esses vetores possuem o mesmo sentido (vide a figura), temos que k é positivo. Desse modo, podemos apenas escrever que:

k = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{\left\| \overrightarrow{DC}\right\|}

Portanto, teremos que:

\overrightarrow{MN} = \left(\frac{k}{2} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}

\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \left\|\left(\frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} + \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{DC}\right\|

\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \left|\frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|}\right| \left\|\overrightarrow{DC}\right\|

Note que o numerador e o denominador da fração são escalares positivos. Portanto, podemos retirar o módulo "||" e ficar apenas com:

\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2\left\| \overrightarrow{DC}\right\|} \left\|\overrightarrow{DC}\right\|

\left\|\overrightarrow{MN}\right\| = \frac{\left\|\overrightarrow{AB}\right\| + \left\| \overrightarrow{DC}\right\|}{2}

Observação: Note que toda a argumentação acima é válida não importando se os vértices A, B, C e D estão em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 .

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