Em quais casos um juiz pode iniciar uma ação?

Não pode, em razão do princípio da inércia da jurisdição. Mas o habeas corpus de ofício, previsto no §2º do art. 654 do CPP, é uma exceção. 

CPP, art. 654. § 2º: 
"Os juízes e os tribunais têm competência para expedir de ofício ordem de habeas corpus, quando no curso de processo verificarem que alguém sofre ou está na iminência de sofrer coação ilegal".

O juiz pode iniciar ao processo no caso de inventário , Esta nova perspectiva instrumentalista do processo, onde a sua finalidade é a pacificação social que se materializa com a efetividade da prestação jurisdicional ou da prestação da justiça no caso concreto, não comporta mais a figura do juiz meramente contemplador do que se passa ao longo da desenvoltura do processo. Isso não significa, contudo, que o julgador possa ter iniciativa da propositura da ação ou do pedido. Aliás, no caso brasileiro, a abertura de inventário (CPC, 989), em havendo inércia dos interessados, é a única hipótese em que se permite a iniciativa do juiz. Nem mesmo no eleitoral, pode o juiz tomar iniciativa, salvo, a de caráter administrativa. fonte : http://www.douradosagora.com.br/noticias/entretenimento/inercia-do-juiz-jose-carlos-de-oliviera-robaldo

Sei que o código elabora hipóteses que o juiz pode iniciar uma ação de ofício - não concordo - não estário o juiz ferindo o princípio da imparcialidade? É bom ressaltar que, não pode iniciar como juiz. Mera opinião.