Ajuda em questões de Física 1

Questão 1

Em movimento de projéteis alcance é a distância horizontal máxima percorrida por uma partícula, sendo o ponto de lançameto vertical o mesmo (y = yi).

O alcance (R) é dado por: R = [(Vi)² * sen(2θ)]/g.

Substituindo na fórmula a gravidade(g) = 9,8m/s², R = 120m, e sen(2θ) = 1, encontrei a velocidade inicial da bola(Vi) ≅ 34,29 m/s.

Decompondo o vetor velocidade inicial em componentes para facilitar os calculos, temos:

Vix = Vi*cosθ; Viy = Vi*senθ;

Como θ vale π/2 temos seno e cosseno iguais a √2/2; Vix = Viy ≅ 24,25m/s .

Fixando o jogador no ponto (0,0) do plano xy e admitindo a cerca no ponto de 100 metros da origem temos as seguintes equações:

No eixo x o movimento é uniforme, logo:

X = Xi + (Vix * t);

Apartir desta esquação é possível descobrir o tempo necessário para a bola atingir o ponto x = 100m no plano, portanto:

100 = 0 + 24,25*t

t ≅ 4,125s

Sabendo o tempo que a bola leva para atingir o ponto x = 100m no plano podemos descobrir o ponto y que desejamos.

No eixo y o movimento é uniformente variado, logo:

Y = Yi + (Viy * t) + (a * t²)/2;

admitindo a = g = - 9,8 m/s², t = 4,125s, Viy = 24,25m/s e Yi = 1m encontraremos:

Y ≅ 17,65m, bem acima da cerca que possui apenas 8m de altura.

1.

Neste exercício, deve-se saber se a bola rebatida vai passar por cima da cerca.

Será adotado como referencial o solo. Sendo \(s_{0,y} \) a posição inicial da bola em relação ao solo, seu valor é:

\(\rightarrow s_{0,y}=1 \space \mathrm m\)

É possível escrever a velocidade inicial \(v_{0}\) da bola em coordenadas do eixo horizontal (eixo x) e vertical (eixo y). Sendo \(\theta=45^\circ\) o ângulo em relação à horizontal, as velocidades horizontal e vertical da bola são:

\(\rightarrow v_{0,x}=v_{0}\cos \theta\rightarrow v_{0,x}=v_{0} \cos 45^\circ \rightarrow v_{0,x}=v_{0} \sqrt{2}/2\)

\(\rightarrow v_{0,y}=v_{0}\sin \theta \rightarrow v_{0,y}=v_{0} \sin 45^\circ \rightarrow v_{0,y}=v_{0} \sqrt{2}/2\)

Portanto, temos que:

\(\rightarrow v_{0,x}=v_{0,y} \space \space (I)\)

A equação da posição da bola no eixo x é:

\(\rightarrow s_{x}=s_{0,x} +v_{0,x}t\)

Sendo \(s_{0,x} =0 \space \mathrm m\) e substituindo a equação \((I)\) na equação anterior, a nova equação é:

\(\rightarrow s_{x}=v_{0,y}t \space \space (II)\)

A equação da posição da bola no eixo y é:

\(\rightarrow s_{y}=s_{0,y} +v_{0,y}t+ {a_y \over 2}t^2 \space \space (III)\)

Devido ao sentido adotado, sabemos que a aceleração vertical \(a_y\) é igual a:

\(\rightarrow a_y=-g\)

\(\rightarrow a_y=-9,81 \space \mathrm {m/s^2}\)

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((III)\), a equação resultante é:

\(\rightarrow s_{y}=s_{0,y} +v_{0,y}t+ {a_y \over 2}t^2 \space \space\)

\(\rightarrow s_{y}=s_{0,y} +s_x+ {a_y \over 2}t^2 \space \space \space \space (IV)\)

A variável \(t_c\) é o tempo que a bola demora para chegar ao solo. Ou seja, nesse intervalo de tempo, a bola vai chegar às seguintes posições horizontal e vertical:

 \(\rightarrow s_{x}=120 \space \mathrm m\)

\(\rightarrow s_{y}=0 \space \mathrm m\)

Portanto, a expressão \((IV)\) fica da seguinte forma:

\(\rightarrow 0=1 +120+ {-9,81 \over 2}t_{c}^2\)

\(\rightarrow {-9,81 \over 2}t_{c}^2=-121\)

\(\rightarrow t_{c}^2 =121*{2 \over 9,81}\)

Como o valor de tempo não pode ser menor do que zero, o valor de \(t_c\) é:

\(\rightarrow t_{c} =4,97\space \mathrm {s}\)

Voltando à equação \((II)\), para o instante \(t_{c} =4,97\space \mathrm {s}\), o valor de \(v_{0,y}\) é:

\(\rightarrow s_{x}=v_{0,y}t _c\)

\(\rightarrow 120=4,97v_{0,y}\)

\(\rightarrow v_{0,y}=24,16 \space \mathrm {m/s}\)

Portanto, a equação da posição da bola no eixo x é:

\(\rightarrow s_{x}(t)=24,16t\)

Sendo \(t_{100m}\) o instante no qual a bola passa por cima (ou por baixo) da cerca, \(100 \space \mathrm m\)  a frente do jogador, seu valor é:

\(\rightarrow s_{x}(t_{100m})=24,16t_{100m}\)

\(\rightarrow 100=24,16t_{100m}\)

\(\rightarrow t_{100m} =4,14\space \mathrm {s}\)

Voltando à equação \((III)\), a equação da posição da bola no eixo y é:

\(\rightarrow s_{y}(t)=s_{0,y} +v_{0,y}t+ {a \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{y}(t)=1 +24,16t+ {-9,81 \over 2}t^2\)

No instante \(t_{100m} =4,14\space \mathrm {s}\), o valor da posição da bola em relação ao solo é:

\(\rightarrow s_{y}(t_{100m})=1 +24,16t_{100m}+ {-9,81 \over 2}t_{100m}^2\)

\(\rightarrow s_{y}(4,14 s)=1 +24,16*4,14-{9,81 \over 2}(4,14)^2\)

\(\rightarrow s_{y}(4,14 s)=16,96 \space \mathrm m\)

Pelo valor calculado de \(s_{y}(4,14 s)= \fbox{$16,96 \space \mathrm m$}\), é possível ver que a bola passou por cima da cerca de \(8 \space \mathrm m\).

2.

Agora, serão calculados o tempo que o míssil levou para atingir o navio na superfície e a posição do navio atingido.

a)

Pela dada função x(t) = 10 î + 40t j (m/s), é possível escrever as velocidades do eixo horizontal (eixo i) e vertical (eixo j). Essas novas funções são:

\(\rightarrow v_i(t)=10 \space(\mathrm {m/s})\)

\(\rightarrow v_j(t)=40t \space(\mathrm {m/s})\)

A função \( v_j(t)=40t \space\) está no formato da fórmula \( v_j(t)=v_{0,j}+a_jt\) para movimento uniformemente variado, sendo \(v_{0,j}\) a velocidade inicial vertical e \(a_j\) a aceleração vertical. Portanto, seus valores são:

\(\rightarrow v_{0,j}=0 \space \mathrm {m/s}\)

\(\rightarrow a_j=40 \space \mathrm {m/s^2}\)

Portanto, a função da posição do míssil no eixo j é:

\(\rightarrow s_{j}(t)=s_{0,j}+v_{0,j}t+{a_j \over 2}t^2\)

Sendo \(s_{0,j}=-200 \space \mathrm m\)  a posição vertical inicial do míssil em relação à superfície, a função \(s_j(t)\) fica da seguinte forma:

\(\rightarrow s_{j}(t)=s_{0,j}+v_{0,j}t+{a_y \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{j}(t)=-200+0t+{40 \over 2}t^2\)

\(\rightarrow s_{j}(t)=20t^2-200\)

O míssil atinge o navio no instante \(t_{nav}\) e na posição vertical \(s_{j}(t_{nav})=0 \space \mathrm m\). Portanto, o valor de \(t_{nav}\) é:

\(\rightarrow s_{j}(t_{nav})=20t_{nav}^2-200\)

\(\rightarrow 0=20t_{nav}^2-200\)

\(\rightarrow t_{nav}^2=10\)

Como o valor de tempo não pode ser negativo, o valor de \(t_{nav}\) é, aproximademante:

\(\rightarrow \fbox{$ t_{nav}=3,16 \space \mathrm s$}\)

b)

A função da posição do míssil no eixo i é:

\(\rightarrow s_{i}(t)=s_{0,i}+v_{0,i}t\)

O movimento horizontal ocorre com velocidade constante por todo o trajeto. Portanto, o valor da velocidade horizontal inicial \(v_{0,i}(t)\) do míssil é:

\(\rightarrow v_{0,i}=v_i\)

\(\rightarrow v_{0,i}=10 \space\mathrm {m/s}\)

O valor \(s_{0,i}=0 \space \mathrm m\) é a posição horizontal inicial do míssil. No instante \(t_{nav}=3,16 \space \mathrm s\), a posição que o míssil atinge o navio é:

 \(\rightarrow s_{i}(t_{nav})=s_{0,i}+v_{0,i}t_{nav}\)

\(\rightarrow s_{i}(3,16)=0+10*3,16\)

\(\rightarrow s_{i}(3,16)=31,62 \space \mathrm m\)

Concluindo, a posição horizontal do navio é \(\fbox {$31,62 \space \mathrm m$}\) em relação ao submarino.