Em uma progressão aritmética, a diferença entre o 7º termo e o 2º termo é 15 e a soma do 3º termo com o 11º é 40.

Note que, em uma PA, todos os termos podem ser escritos em função do primeiro a1 termo e da razão r, logo:

a2 = a1 + r ;

a7= a1 + 6r.

Como temos |a7 - a2|= 15, mas como a3 + a11 = 40 > a2 + a7 = 15, podemos tirar o módulo. Resolvemos então

a7 - a2= 15

(a1+6r) - (a1 + 1r) = 15

a1 - a1 + 6r - 1r= 15

5r= 15 => r= 3.

Assim, basta descobrirmos A1 e por fim a9.

Sabemos que a3 + a11 = 40 e que a3= a1 + 2r e a11= a1 + 10r, logo:

(a1 + 2r) + (a1 + 10r) = 40

a1 + a1 + 1r + 10r = 40

2a1 + 11r = 40, sabemos que r=5, então:

2a1 + 12.5= 40

2a1 = 40 - 60

2a1= - 20

a1= -10

Como a9 = a1 + 8r e sabemos que a1= -15/2 e r=5, temos:

a9 = -10 + 8.5

a9= -10 + 40

a9= 30

Na soma do a3 e a11 coloquei que a3=a1 + 1r, conserte ai, duas linhas depois fiz a correção mas não consegui alterar o que tinha feito ainda... ou seja, citei errado mas calculei certo, tá bom?

Em que,  a_{1}  é o primeiro termo da PA e r é a razão da PA.

Neste caso, não é fornecido o primeiro termo e nem a razão da PA. Porém, através da fórmula geral temos: 

Além disso, sabemos que:

Reescrevendo os termos a partir da fórmula geral da PA temos:

Resolvendo o sistema acima temos:

Uma vez que sabemos o valor do primeiro termo e a razão da PA, podemos então calcular o 9º termo da progressão:

Por fim, temos que  .