y''-y'-2y = e^(3x); y (1) = 2; y'(1) = 1

Vamos resolver a sequinte equação diferencial

\(y''-y'-2y = e^{3x}\)

dadas as condições de contorno

\(y (1) = 2\\ y'(1) = 1\)

Primeiro vamos usar o polinômio característico para determinar a solução da equação homogênea:

\(\lambda^2-\lambda-2=0\Rightarrow \lambda\in\{-1;2\}\)

Logo temos a seguinte solução para a equação homogênea:

\(y_H(x) = Ae^{-x}+Be^{2x}\)

Vamos agora usar o método da variação de parámetros para determinar a solução particular:

\(y_P(x) = u(x)e^{-x}+v(x)e^{2x}\)

Derivando, temos:

\(y'_P(x) = u'(x)e^{-x}-u(x)e^{-x}+v'(x)e^{2x}+2v(x)e^{2x}\)

Impondo a condição de que \(u'(x)e^{-x}+v'(x)e^{2x}=0\), temos:

\(y'_P(x) = -u(x)e^{-x}+2v(x)e^{2x}\)

Derivando novamente, temos:

\(y''_P(x) = -u'(x)e^{-x}+u(x)e^{-x}+2v'(x)e^{2x}+4v(x)e^{2x}\)

Substituindo os valores obtidos na equação, temos:

\([-u'(x)e^{-x}+u(x)e^{-x}+2v'(x)e^{2x}+4v(x)e^{2x}]-[ -u(x)e^{-x}+2v(x)e^{2x}]-2[u(x)e^{-x}+v(x)e^{2x}]=e^{3x}\)

Rearranjando os termos, temos:

\((e^{-x}+e^{-x}-2e^{-x})u(x)+(4e^{2x}-2e^{2x}-2e^{2x})v(x)+[-u'(x)e^{-x}+2v'(x)e^{2x}]=e^{3x}\)

Simplificando:

\(-u'(x)e^{-x}+2v'(x)e^{2x}=e^{3x}\)

Da equação acima em conjunto com a condição imposta, temos:

\(\left\{\begin{align} u'(x)e^{-x}+v'(x)e^{2x}&=0\Rightarrow -u'(x)e^{-x}=v'(x)e^{2x}\\ -u'(x)e^{-x}+2v'(x)e^{2x}&=e^{3x} \end{align}\right.\)

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

\(v'(x)e^{2x}+2v'(x)e^{2x}=e^{3x}\Rightarrow v'(x)={1\over3}e^x\)

Integrando, temos:

\(v(x)={1\over3}e^x\)

Substituindo na primeira equação do sistema, temos:

\(-u'(x)e^{-x}={1\over3}e^xe^{2x}={1\over3}e^{3x}\Rightarrow u'(x)=-{1\over3}e^{4x}\)

Integrando, temos:

\(u(x)=-{1\over12}e^{4x}\)

Substituindo na solução particular, temos:

\(y_P(x) = -{1\over12}e^{4x}e^{-x}+{1\over3}e^xe^{2x} = {1\over4}e^{3x}\)

Somando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral:

\(y(x)=y_H(x)+y_P(x)=Ae^{-x}+Be^{2x}+{1\over4}e^{3x}\)

Derivando, temos:

\(y'(x)=-Ae^{-x}+2Be^{2x}+{3\over4}e^{3x}\)

Para as nossas condições de contorno, temos:

\(y (1) = Ae^{-1}+Be^{2}+{1\over4}e^{3} = 2\\ y'(1) =-Ae^{-1}+2Be^{2}+{3\over4}e^{3}= 1\)

Somando as duas expressões, temos:

\(3Be^{2}+e^{3} = 3\Rightarrow B = e^{-2}-{1\over3}e\)

Subtraindo a segunda do dobro da primeira, temos:

\(3Ae^{-1}-{1\over4}e^{3} = 3\Rightarrow A = e+{1\over12}e^{4}\)

Substituindo na nossa solução geral, temos:

\(\boxed{y(x)=\left({1\over12}e^{3}+1\right)e^{1-x}+\left(e^{-3}-{1\over3}\right)e^{2x+1}+{1\over4}e^{3x}}\)