Seja a curva de equação (x - 3)² + (y - 3)² = 6. Qual o maior valor que y x pode assumir (sendo x e y pertencentes a tal curva)?

essa equação corrresponde a uma circunferencia de centro (3,3) e raio=√6, logo se você quiser os maiores valores isolados de x e de y ( independentes um do outro) basta somar o raio nas coordenadas do centro, entao tanto x quanto y ficariam iguais a 3+√6

A equação mostrada representa uma circunferência no plano cartesiano. Podemos tralhar apenas com o 1° quadrante para esse problema, pois:

- O 2° e 4° quadrantes possuem sinais alternados de x e y, ou seja, não é razoável para encontrar o valor máximo do produto entre essas duas incógnitas;

- O 3° quadrante é análogo ao caso do 1° quadrante, apenas com sinais trocados.

Se podemos trabalhar apenas com o primeiro quadrante, onde x > 0 e y > 0, ao expandir os quadrados podemos fazer:

\(y^2 - 6y + (x^2 - 6x + 12) = 0 \ \ \text{Por Bhaskara:} \\ y = \frac{6 + \sqrt{(-6)^2 - 4(x^2 - 6x + 12)}}{2} \\ y = 3 + \sqrt{-x^2 + 6x - 3}\)

E o produto pedido se torna, então, função de apenas uma variável:

\(Produto(x,y) = xy \\ Produto(x) = x(3+\sqrt{-x^2 + 6x - 3})\)

Para analisar o máximo dessa função, basta derivar e encontrar os pontos críticos igualando-a a 0. A simplificação dessa derivada em termos de facilitar a resolução da equação não é simples, por isso é recomendável o uso de um software. Haverá apenas um ponto crítico, com máximo local:

\(\boxed{3 + \sqrt{3}}\)