Denotando W como combinação linear de U e V, precisa analisar as componentes (x,y) da seguinte forma:
W=Ua+Vb
comecemos por x:
-4=1a+(-5)b "quantas vezes a componente x de U somada a quantas vezes a componente x de V resulta na componente x de W"
-4=a-5b coloca "a" em evidência
a=5b-4 "guarda para formar um sistema"
deve-se usar as mesmas incógnitas para as duas componentes, pois à medida que um escalar multiplica uma componente, multiplica a outra automaticamente.
componente y:
5=3a+2b e sendo a=5b-4
5=3(5b -4)+2b
5=15b -12+2b
17=17b
b=1
voltando para a:
a=5b-4 sendo b=1
a=(5.1) -4
a=5-4=1
Portanto
(-4,5)=1.(1,3)+1.(-5,2)
Para que o vetor \(\overrightarrow{w}\) seja combinação linear de \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), devem existir os números reais\(\lambda\) e \(\beta\) tais que:
\(\overrightarrow{w}=\lambda\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}\)
Mas, \(\overrightarrow{w}=(-4,5)\), \(\overrightarrow{v}=(-5,2)\) e \(\overrightarrow{u}=(1,3)\).
Logo, podemos escrever:
\((-4,5)=\lambda(1,3)+\beta(-5,2) \\=(\lambda-5\beta, 3\lambda+2\beta)\)
E isto implica que:
\(\lambda-5\beta=-4\) (I)
\(3\lambda+2\beta=5\) (II)
Multiplicando a primeira equação por -3 e somando membro a membro com a segunda, obtemos que:
\(\beta=\frac{-17}{13}\)
e em seguida substituindo es te valor encontrado naequação (I) obtemos que:
\(\lambda=\frac{-137}{13}\)
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
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