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Sejam os vetores u=(1,3) e v=(-5, 2) em R². Escrevendo o vetor w=(-4, 5) como combinação linear de ue v, o que temos como solução?

💡 1 Resposta

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Victória Belo

Denotando W como combinação linear de U e V, precisa analisar as componentes (x,y) da seguinte forma:

W=Ua+Vb

comecemos por x:

-4=1a+(-5)b   "quantas vezes a componente x de U somada a quantas vezes a componente x de V resulta na componente x de W"

-4=a-5b      coloca "a" em evidência

a=5b-4    "guarda para formar um sistema"

deve-se usar as mesmas incógnitas para as duas componentes, pois à medida que um escalar multiplica uma componente, multiplica a outra automaticamente.

componente y:

5=3a+2b  e sendo a=5b-4

5=3(5b -4)+2b

5=15b -12+2b

17=17b

b=1

voltando para a:

a=5b-4  sendo b=1

a=(5.1) -4

a=5-4=1

Portanto

(-4,5)=1.(1,3)+1.(-5,2)

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RD Resoluções

Para que o vetor \(\overrightarrow{w}\) seja combinação linear de \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), devem existir os números reais\(\lambda\) e \(\beta\) tais que:

\(\overrightarrow{w}=\lambda\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}\)

Mas, \(\overrightarrow{w}=(-4,5)\)\(\overrightarrow{v}=(-5,2)\) e \(\overrightarrow{u}=(1,3)\).

Logo, podemos escrever:

\((-4,5)=\lambda(1,3)+\beta(-5,2) \\=(\lambda-5\beta, 3\lambda+2\beta)\)

E isto implica que:

\(\lambda-5\beta=-4\) (I)

\(3\lambda+2\beta=5\) (II)

Multiplicando a primeira equação por -3 e somando membro a membro com a segunda, obtemos que:

\(\beta=\frac{-17}{13}\) 

e em seguida substituindo es te valor encontrado naequação (I) obtemos que:

\(\lambda=\frac{-137}{13}\)

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