Ache a equação da circunferência que tem o centro situado sobre a reta 2x+y=0 e é tangente às retas r: 4x-3y+10=0 e s: 4x-3y-30=0

Encontre os pontos de intercepção da 1º reta com a 2º, depois da 1º com a 3º. Com esses dois pontos em mãos, descubra o vetor que se faz entre ela e depois o ponto médio. como vc já tem o ponto médio q será o centro, só faltara o raio que nada mais é que a norma do mesmo vetor dividido por 2.

Vamos começar pela equação da circunferência:

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\)

onde \(R\) é o raio e \((x_0,y_0)\) é o centro. Inicialmente sabemos que o centro pertence à reta \(2x+y=0\), logo temos:

\(y_0=-2x_0\)

Ou seja:

\((x-x_0)^2+(y+2x_0)^2=R^2\)

Perceba que as duas retas a serem tangenciadas tem a mesma inclinação, de forma que tocam a circunferência em pontos diametralmente opostos, fazendo com que o diâmetro da circunferência seja dado pela distância entre as retas. Para calculá-la, vamos tomar um ponto arbitrário da reta r, por exemplo, \(y_1=2\Rightarrow x_1=-1\). Para calcular a distância até a reta s, temos:

\(2R = {\vert 4x_1-3y_1-30\vert\over\sqrt{4^2+3^2}}={\vert 4\cdot(-1)-3\cdot2-30\vert\over\sqrt{16+9}}={\vert -4-6-30\vert\over5}=8\Rightarrow R=4\)

Além disso, a distância do centro a cada uma das retas deve ter o valor do raio. Vamos começar pela reta s:

\(\begin{align} {\vert 4x_0-3y_0-30\vert\over\sqrt{4^2+3^2}}&=R=4\\ {\vert 4x_0-3(-2x_0)-30\vert\over5}&=4\\ {\vert 10x_0-30\vert}&=20\\ {\vert x_0-3\vert}&=2\\ x_0-3&=\pm2\\ x_0\in\lbrace1;5\rbrace \end{align}\)

Agora para a reta reta r, temos:

\(\begin{align} {\vert 4x_0-3y_0+10\vert\over\sqrt{4^2+3^2}}&=R=4\\ {\vert 4x_0-3(-2x_0)+10\vert\over5}&=4\\ {\vert 10x_0+10\vert}&=20\\ {\vert x_0+1\vert}&=2\\ x_0+1&=\pm2\\ x_0\in\lbrace-3;1\rbrace \end{align}\)

Da intersecção, temos:

\(x_0=1\Rightarrow y_0=-2\)

Substituindo os parâmtros na equação da circunferência, temos:

\(\boxed{(x-1)^2+(y+2)^2=16}\)