x²y''-3xy'+4y=x²lnx
x²y''-5xy'+9y=0
Sabemos que, para resolver a Equação de Cauchy-Euler
devemos começar procurando uma solução da forma . Substituindo em (1) vemos que deve ser raiz da equação algébrica
Suponhamos que a equação acima tenha raízes complexas . Com elas construímos duas soluções linearmente independentes da primeira equação,
e
Já tínhamos trabalhado com exponenciais com expoente complexo, mas de base . É fácil dar um sentido às exponenciais acima, cuja base não é :
Analogamente obtemos
sen
As duas soluções e da primeira equação encontradas acima são linearmente independentes mas assumem valores complexos, o que pode ser um inconveniente para algumas aplicações. Por esta razão, vamos preferir as combinações lineares delas
que são linearmente independentes e reais.
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