resolução do exercicio: Dado f(z) = Z^2 + iz^3 - (1 + 2i)z^2 + 3z + 1 + 3i, calcule o valor de f no ponto z = 1 + i

f(z) = z² + iz³ - (1+2i)z² + 3z + 1 + 3i

z = 1 + i

f(1+i) = (1+i)² + i(1+i)³ - (1+2i)(1+i)² + 3(1+i) + 1 + 3i (1)

Calculando:

(1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i (2)

(1+i)³ = (1+i)²(1+i) = (2i)(1+i) = 2i + 2i² = 2i + 2(-1) = 2i - 2 (3)

Voltando as equações (2) e (3) em (1), temos:

f(1+i) = 2i + i(2i-2) - (1+2i)2i + 3(1+i) + 1 + 3i

f(1+i) = 2i + 2i² - 2i -2i - 4i² + 3 + 3i + 1 + 3i

f(1+i) = 2i - 2 - 2i - 2i + 4 + 3 + 3i + 1 + 3i

f(1+i) = 6 + 4i

Logo, f(1+i) = 6 + 4i

Nesse exercício vamos estudar operações aritméticas de números complexos.

Temos a seguinte função de variável complexa:

$$f(z) = z^2 + iz^3 - (1 + 2i)z^2 + 3z + 1 + 3i = iz^3 - 2iz^2 + 3z + 1 + 3i$$

Aplicando $z = 1 + i$, temos:

$$f(1 + i) = i(1+i)^3 - 2i(1+i)^2 + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Usando o binômio de Newton:

$$f(1 + i) = i(1^3+3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2+i^3) - 2i(1^2+2\cdot1\cdot i+i^2) + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Lembrando as potências de $i$:

$$i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$$

E aplicando aos cálculos, temos:

$$f(1 + i) = i(1+3i-3-i) - 2i(1+2i-1) + 3(1+i) + 1 + 3i = i(-2+2i) - 2i(2i) + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Usando a propriedade distributiva:

$$f(1 + i) = (-2i+2i^2) - 4i^2 + 3+3i + 1 + 3i = -2i-2 + 4 + 4+6i$$

Finalmente:

$$\boxed{f(1 + i) =6+4i}$$

Nesse exercício vamos estudar operações aritméticas de números complexos.

Temos a seguinte função de variável complexa:

$$f(z) = z^2 + iz^3 - (1 + 2i)z^2 + 3z + 1 + 3i = iz^3 - 2iz^2 + 3z + 1 + 3i$$

Aplicando $z = 1 + i$, temos:

$$f(1 + i) = i(1+i)^3 - 2i(1+i)^2 + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Usando o binômio de Newton:

$$f(1 + i) = i(1^3+3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2+i^3) - 2i(1^2+2\cdot1\cdot i+i^2) + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Lembrando as potências de $i$:

$$i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i$$

E aplicando aos cálculos, temos:

$$f(1 + i) = i(1+3i-3-i) - 2i(1+2i-1) + 3(1+i) + 1 + 3i = i(-2+2i) - 2i(2i) + 3(1+i) + 1 + 3i$$

Usando a propriedade distributiva:

$$f(1 + i) = (-2i+2i^2) - 4i^2 + 3+3i + 1 + 3i = -2i-2 + 4 + 4+6i$$

Finalmente:

$$\boxed{f(1 + i) =6+4i}$$