Geometria Analítica. Alguém me ajuda, por favor?

o que vc precisa e qual parte vc está com dúvida?

Para determinarmos \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\), basta-nos normalizar os vetores \(\vec{v}_1\) e \(\vec{v}_2\), respectivamente. Vamos começar por determinar \(\vec{u}\):

\(\vec{u}={\vec{v}_1\over\vert\vert\vec{v}_1\vert\vert}={1\over\sqrt{2^2+1^2+3^2}}(2;1;3)={1\over\sqrt{14}}(2;1;3)\)

Para \(\vec{v}\) temos:

\(\vec{v}={\vec{v}_2\over\vert\vert\vec{v}_2\vert\vert}={1\over\sqrt{4^2+1^2+(-3)^2}}(4;1;-3)={1\over\sqrt{26}}(4;1;-3)\)

Queremos uma base ortonormal positiva:

\(\begin{align} \vec{w}&=\vec{u}\times\vec{v}\\ &={1\over\sqrt{14}}(2;1;3)\times{1\over\sqrt{26}}(4;1;-3)\\ &={1\over\sqrt{14\cdot26}}\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\2 & 1 & 3\\4 & 1 & -3\end{vmatrix}\\ &={1\over\sqrt{2\cdot7\cdot2\cdot13}}(-6;18;-2)\\ &={1\over2\sqrt{91}}(-6;18;-2)\\ &={1\over\sqrt{91}}(-3;9;-1) \end{align}\)

Logo a base procurada é:

\(\boxed{\left\lbrace{1\over\sqrt{14}}(2;1;3);{1\over\sqrt{26}}(4;1;-3);{1\over\sqrt{91}}(-3;9;-1)\right\rbrace}\)

Agora vamos escrever \(\vec{v}_3\) como combinação linear dos vetores dessa base:

\(\begin{align} \vec{v}_3&=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\\ (1;1;1)&={a\over\sqrt{14}}(2;1;3)+{b\over\sqrt{26}}(4;1;-3)+{c\over\sqrt{91}}(-3;9;-1) \end{align}\)

Temos, portanto, o seguinte sistema linear:

\(\left\lbrace\begin{align} {2a\over\sqrt{14}}+{4b\over\sqrt{26}}-{3c\over\sqrt{91}}&=1\\ {a\over\sqrt{14}}+{b\over\sqrt{26}}+{9c\over\sqrt{91}}&=1\\ {3a\over\sqrt{14}}-{3b\over\sqrt{26}}-{c\over\sqrt{91}}&=1 \end{align}\right.\)

Trocando a ordem das duas primeiras equações, temos:

\(\left\lbrace\begin{align} {a\over\sqrt{14}}+{b\over\sqrt{26}}+{9c\over\sqrt{91}}&=1\\ {2a\over\sqrt{14}}+{4b\over\sqrt{26}}-{3c\over\sqrt{91}}&=1\\ {3a\over\sqrt{14}}-{3b\over\sqrt{26}}-{c\over\sqrt{91}}&=1 \end{align}\right.\)

Fazendo \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) e \(L_3\leftarrow -L_3+3L_1\), temos:

\(\left\lbrace\begin{align} {a\over\sqrt{14}}+{b\over\sqrt{26}}+{9c\over\sqrt{91}}&=1\\ +{2b\over\sqrt{26}}-{21c\over\sqrt{91}}&=1\\ +{6b\over\sqrt{26}}+{28c\over\sqrt{91}}&=1 \end{align}\right.\)

Fazendo \(L_3\leftarrow L_3-3L_2\), temos:

\(\left\lbrace\begin{align} {a\over\sqrt{14}}+{b\over\sqrt{26}}+{9c\over\sqrt{91}}&=1\\ +{2b\over\sqrt{26}}-{21c\over\sqrt{91}}&=1\\ +{91c\over\sqrt{91}}&=1\Rightarrow c={1\over\sqrt{91}} \end{align}\right.\)

Substituindo na segunda equação, temos:

\({2b\over\sqrt{26}}-{21\over91}=1\Rightarrow b={56\over91}\sqrt{26}={8\cdot7\over13\cdot7}\sqrt{2\cdot13}={16\over\sqrt{26}}\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\({a\over\sqrt{14}}+{16\over26}+{9\over91}=1\Rightarrow a={2\over7}\sqrt{14}={4\over\sqrt{14}}\)

Temos, portanto:

\(\boxed{\vec{v}_3={4\over\sqrt{14}}\vec{u}+{16\over\sqrt{26}}\vec{v}+{1\over\sqrt{91}}\vec{w}}\)