como calcular a derivada: f(x)=(5x-2)^6*(3x-1)^3

Para começar a resolver esse exercício, vamos reescrever a função de forma simplificada:

\(f(x)=u^6v^3\)

onde \(u(x)=5x-2\) e \(v(x)=3x-1\). Usando a regra da derivada do produto, temos:

\({df\over dx}={d\over dx}(u^6)v^3+u^6{d\over dx}(v^3)\)

Precisamos agora aplicar a regra da cadeia, isto é, derivar o conteudo dos parenteses em relação à variável explícita para depois derivar a variável implícita (\(x\)):

\(\begin{align} {df\over dx}&=6u^5{du\over dx}v^3+u^63v^2{dv\over dx}\\ &=6u^5v^3{du\over dx}+3u^6v^2{dv\over dx} \end{align}\)

Tanto \(u\) quanto \(v\) são expressões lineares em \(x\), o que faz com que suas derivadas sejam seus coeficientes do termo linear:

\(\begin{align} {df\over dx}&=6u^5v^3{du\over dx}+3u^6v^2{dv\over dx}\\ &=6u^5v^3\cdot 5+3u^6v^2\cdot3\\ &=30u^5v^3+9u^6v^2\\ &=3u^5v^2(10v+3u)\\ \end{align}\)

Substituindo as expressões de \(u\) e \(v\), temos:

\({df\over dx}=3(5x-2)^5(3x-1)^2\left[10(3x-1)+3(5x-2)\right]\)

Simplificando a expressão, temos:

\(\boxed{{df\over dx}=3(5x-2)^5(3x-1)^2(45x-16)}\)

f'.g + g'.f

derivada composta (derivada do produto)

resposta: f'(x) = 30.((5x-2)^5).((3x-1)^3) + 9.((3x-1)^2).((5x-2)^6)