Assim como as funções trigonométricas, as funções hiperbolicas tambem possuem algumas relações fundamentais, a relação apresentada a seguir será a base para a resolução do problema:

\(cosh^2(x)-senh^2(x)=1\)

Dividindo ambos os lados da equação por \(cosh^2(x)\), teremos:

\(1-tgh^2(x)=sech^2(x)\)

Do valor de \(tgh(x)\) fornecido no enunciado teremos:

\(1-(\frac{12}{13})^2=sech^2(x)\)

\(1-\frac{144}{169}=sech^2(x)\)

\(\frac{25}{169}=sech^2(x)\)

A  função \(sech(x)\) é sempre positiva, já que é definida como \(sech(x)=\frac{2}{e^x+e^{-x}}\), e a função exponencial é sempre positiva, assim teremos:

\(sech(x)=\frac{5}{13}\)

Como \(cosh(x)=\frac{1}{sech(x)}\), logo \(cosh(x)=\frac{13}{5}\)

Pela relação fundamental temos: \(cosh^2(x)-1=senh^2(x)\), com isto:

\(\frac{169}{25}-1=senh^2(x)\)

\(\frac{144}{5}=senh^2(x)\)

A função \(senh^2(x) \) é sempre positiva, portanto \(senh(x)=\frac{12}{5}\)