Se n ∈ N, e x diferente de y, simplifique: x^n - y^n / x-y.

Usa regra de divisão de polinômios. 

As expressões para soma e diferença de potências de base real e expoente natural já são definidas através de uma fatoração. Para o caso da diferença \(a^n-b^n\), temos

\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+a^{n-3}b^2+\dots+a^1b^{n-2}+a^0b^{n-1}\).

Aplicando-a ao numerador:

\(x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})\)

Agora, a expressão a ser simplificada pode ser reescrita como:

\(\dfrac{x^n-y^n}{x-y}=\dfrac{(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})}{x-y}\)

Observe que a fatoração coloca em evidência o termo \((x-y)\) que também aparece no denominador. Portanto, a forma simplificada da expressão é

\(\dfrac{x^n-y^n}{x-y}=(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\dots+xy^{n-2}+y^{n-1})\)