3. Encontre uma primitiva F para a função f, onde: a) f(x)=3.sen(4x) e F(π/8)=-1 b) f(x)=x^2 ∛(3x^3+7) e F(0)

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Olá!

A função primitiva é a função que gera uma função através do processo de derivação.

a) 3.sen(4x) e F(pi/8) = -1

A função que gera a função seno pela derivada é a função cosseno. Entretanto, esta é gerada com sinal negativo, o que não temos neste caso. Então devemos ter uma função primitiva do tipo -cosseno. Em seguida, temos o 4 multiplicando o x no argumento. Repare que se derivarmos a função -cosseno(4x) irá acontecer a regra da cadeia, e teremos no final -4sen(4x). Desta maneira, a primitiva deve ter uma fração com o valor 4 no denominador, de maneira a cancelar o 4 que será gerado no argumento.

Por fim, o valor 3 é só ser adicionado. Desta maneira, teremos que a primitiva é:

Entretanto, F(pi/8) = 0, mas o enunciado pede: F(pi/8) = -1. Para isto ocorrer, basta adicionarmos -1 na função final, pois a derivada do valor -1 é zero. Desta maneira, a função F é:

Esta é a resposta da parte (a)

b) f(x)=x² ∛(3x³+7) e F(0)

Para a pergunta b) há falta de dados para a resolução (falta o valor de F(0)). Peço que você abra outro tópico com esta parte para que eu possa resolvê-la!

Bons estudos!