Seja f(x) = (x - 1) (4 - x). Para quais valores de c, existe apenas uma reta tangente ao gráfico da função f(x) e que passa pelo ponto (c,0)

Se a reta tangente passa por y = 0, o coeficiente independente é nulo. Logo, a reta tangente tem equação \(y = ax\). Na intersecção dessa reta com a parábola, teremos:

\(ax = (x-1)(4-x) \\ ax = -x^2 +5x - 4 \\ x^2 +(a-5)x + 4 = 0\)

Para existir apenas uma solução (uma reta tangente), o discriminante (delta) deve ser nulo:

\((a-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \\ (a-5)^2 = 16 \\ a - 5 = 4 \\ \boxed{a = 9}\)

Voltando à equação quadrática, teremos:

\(x^2 +4x + 4 = 0 \\ x = -2\)

Logo, o ponto em questão é \(\boxed{(-2,0)}\).