mostre que o MDC( n, 2n+1)=1?

Oi, tudo bem?

Antes de qualquer coisa, precisamos ter em mente que estamos operando no conjunto dos números inteiros (Z). (Creio)

Sabendo que se o MDC(x, y) = z, onde x, y e z pertence a Z, então z|x e z|y. E se isso acontece então significa que x = z.q + r e y = z.q' + r, onde q, q' e r pertence a Z e r = 0 (Tem que ser)

Sabendo disso, vamos ao seu problema...

Você pode mostrar da seguinte forma: MDC(n, 2n+1) = d, onde n e d pertence a Z. (se n pertence a Z então 2n+1 também pertence a Z)

Então d|n e d|(2n+1), isto é, n = d.q e 2n+1 = d.q' 

Substituindo a primeira equação na segunda temos: 2dq + 1 = dq' => dq' - 2dq = 1 => d.(q' - 2q) = 1

Se q e q' pertencem a Z então (q' - 2q) = q'' também pertente a Z

Então d.(q' - 2q) = 1 => d.q'' = 1 => d|1

Logo d = 1 pois o único divisor inteiro de 1 é o prório 1.

OBS.: Só lembrando que isso tudo ai é no Conjunto dos Números Inteiros (Z).

Espero ter ajudado!