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Determine a menor distância.

Um passageiro atrasado, corre rumo a um trem com velocidade escalar constante de 2,0m/s. O trem parte do repouso com aceleração escalar constante de 2,0m/s² no instante que o passageiro encontra-se 5,0m atrás. Nestas condições, considerando que ambos percorrem uma mesma trajetória retilínea, determine a menor distância a que ele chega perto do trem.

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Neste exercício, serão utilizados os conhecimentos sobre movimento retilíneo para determinar a menor distância à qual o passageiro chega perto do trem. Para isso, será utilizada a função de posição, conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow s(t)=s_0+v_0t+{a \over 2}t^2\)

As variáveis são: a posição final \(s(t)\), a posição inicial \(s_0\), a velocidade inicial \(v_0\), aceleração \(a\) e tempo \(t\).


Primeiro, será analisado o movimento do passageiro. Será utilizando como referencial a sua posição inicial. Além disso, como sua velocidade é constante, sua aceleração é zero. Com isso, os parâmetros do passageiro são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin {matrix} s_{0,p} = 0 \space \mathrm {m} \\ v_{0,p}=2 \space \mathrm {m/s} \\ a_p = 0 \space \mathrm {m/s^2} \end {matrix} \right.\)


Portanto, a função da posição do passageiro é:

\(\Longrightarrow s_p(t)=s_{0,p}+v_{0,p}t+{a_p \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_p(t)=0+2t+{0 \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_p(t)=2t\)


Agora, será analisado o movimento do trem. Sua posição inicial é 5 metros à frente em relação ao referencial. Além disso, como ele partiu do repouso, sua velocidade inicial é igual a zero. Com isso, os parâmetros do trem são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin {matrix} s_{0,t} = 5 \space \mathrm {m} \\ v_{0,t}=0 \space \mathrm {m/s} \\ a_p = 2 \space \mathrm {m/s^2} \end {matrix} \right.\)


Portanto, a função da posição do trem é:

\(\Longrightarrow s_t(t)=s_{0,t}+v_{0,t}t+{a_t \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_t(t)=5+0t+{2 \over 2}t^2\)

\(\Longrightarrow s_t(t)=5+t^2\)


Conhecendo as funções do passageiro e do trem, a função da distância entre eles é:

\(\Longrightarrow \Delta s_{t-p}(t) = s_t(t) - s_p(t)\)

\(\Longrightarrow \Delta s_{t-p}(t) = 5+t^2-2t\)


Pode-se ver que a função \(\Delta s_{t-p}(t)\) é uma parábola cujos coeficientes são: \(a=1\)\(b=-2\) e \(c=5\). Como \(a>0\), a parábola possui concavidade voltada para cima. Ou seja, essa função possui um valor mínimo.


Esse valor mínimo pode ser encontrado quando a derivação de \( \Delta s_{t-p} (t)\) em relação a \(t\) é igual a zero. Ou seja:

\(\Longrightarrow {d\Delta s_{t-p} (t) \over dt} = 0\)


Substituindo a função na equação anterior, o valor do tempo \(t\) é:

\(\Longrightarrow {d \over dt} (5+t^2-2t)= 0\)

\(\Longrightarrow 2t-2= 0\)

\(\Longrightarrow t=1 \space \mathrm s\)

Portanto, em \( t=1 \space \mathrm s\), a distância à qual o passageiro chega perto do trem é a mínima possível.


Voltando à função \( \Delta s_{t-p}(t)\), o valor dessa distância mínima é:

\(\Longrightarrow \Delta s_{t-p} (t) = 5+t^2-2t\)

\(\Longrightarrow \Delta s_{t-p} (1 \space \mathrm s) = 5+1^2-2 \cdot 1\)

\(\Longrightarrow \fbox { $ \Delta s_{t-p} (1 \space \mathrm s) = 4 \space \mathrm m $}\)

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