Como resolver essa questão?

Sejam W¹, W² e W³ os seguintes subespaços de R³:

W¹ = {(x, y, z): x = z}, W² = {(x, y, z): x = y = 0}, W³ = {(x, y, z): x + y + z = 0}.

É verdade que W¹ + W² = W¹ + W³ = W² + W³ = R³? Em algum dos casos a soma é direta?

Álgebra Linear I

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UFPB

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Joao Paulo Silva Martins

19.08.2017

💡 1 Resposta

Pedro Torres

30.08.2017

acho que voce esqueceu de colar a questão aqui

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RD Resoluções

22.08.2018

Nesse exercicio devemos comprovar que a soma entre os subespaços são iguais a R³ e para isso realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{W}_{1}}\text{= }\{\left( x,\text{ }y,\text{ }z \right)=(x,y,x) \\ & {{W}_{2}}=\{(x,y,z)\}=(0,0,0) \\ & {{W}_{3}}=\{(x,y,z)\}=(x,y,z) \\ & \\ & {{W}_{1}}+{{W}_{2}}={{W}_{2}}+{{W}_{3}}={{W}_{3}}+{{W}_{1}} \\ & (x,y,x)+(0,0,0)=(0,0,0)+(x,y,z)=(x,y,z)+(x,y,x) \\ & (x,y,x)=(x,y,z)=(2x+2y,x+z) \\ & (x,y,x)=(x,y,z)=(2x+2y,x+z)={{R}^{3}} \\ \end{align}\ \)

Portanto, como podemos ver, as somas são diretas e todas as três somas pertencem ao espaço vetorial R3.

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