Seja F c R^n (lê-se F contido em R^n) um espaço de dimensão n-1, então existem números reais (a1, a2,...,an), não todos 0, tal que a1X1+a2X+...+anXn=0

axxxxxxxx

Suponha que F tem dimensão n-1.  Seja U1,...U(n-1) uma base de F.  Sejam X1,..,Xn pertencem a F e a1,..,an tais que

(1)         a1X1 + ... + anXn = 0.

Como U1,...U(n-1) é uma base de F, cada Xi pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos, isto é,

Xi = b_1i * U1 + ... b_(n-1)i * U(n-1)

para escalares b_ji, j = 1,...,n-1 e i=1,..,n, apropriados.

Substituindo essas igualdades na expressão (1) e isolando os termos em comum temos

[b_11 * a1 +  ... + b_1n * an]*U1 + ... + [b_(n-1)1 * a1 + ... + b_(n-1)n * an]*U(n-1) = 0

Como U1,...U(n-1) é uma base, devemos termos

b_11 * a1 + ... + an*b_1n * an = 0
.
.
.
b_(n-1)1 * a1 +  ... + b_(n-1)n * an = 0

Como temos um sistema homogêneo com n-1 equações e n incóginitas (a1,...,an), o sistema possui solução não trivial.