volume do paralelepipedo

Um aluno de engenharia da computação deseja desenvolver um projeto que permite registrar a posição de smartphone no espaço tridimensional. Para tal é necessário acoplar ao smartphone um dispositivo infravermelho que registra a posição do celular em relação ao solo e a duas paredes perpendiculares. O dispositivo emite um feixe infravermelho nas três superfícies espaço tridimensional, registra a posição do celular. Uma das possíveis aplicações deste projeto seria estimar o volume de sólidos no espaço tridimensional. Considere que em uma destas medições foram registradas os pontos A(1,1,2) , B(2,3,6), C(2,3,3) e D(5,4,3) .a) Qual seria o volume do paralelepípedo formado espacialmente. b) Qual seria a área total do paralelepípedo

Álgebra Linear I

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UNP

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Andre Emanoel Gomes

26.08.2017

💡 3 Respostas

Filipe Santos

13.11.2017

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RD Resoluções

21.08.2018

a)Para encontrarmos o volume do paralelepipedo, primeiramente precisamos encontrar três vetores que são formados pelos pontos dados e calcular seui determinante:

\(\begin{align} & AB=(1,2,4) \\ & BC=(0,0,-3) \\ & CD=(3,1,0) \\ & \\ & V=|\det A| \\ & V=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \\ & V=|-15| \\ & V=15 \\ \end{align}\ \)

O volume será \(\boxed{V = 15}\).

b) Agora calcularemos a área total desse paralelepipedo:

\(\begin{align} & A=\left| AB\times BC \right| \\ & A=\left| (1,2,4)\times (0,0,-3) \right| \\ & A=(-6,3,0) \\ & A=\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ & A=\sqrt{36+9} \\ & A=\sqrt{41} \\ \end{align}\ \)

A área total será de \(\boxed{A = \sqrt {41} }\).

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