algebra

Se ad - bc = 0 

ad = bc  >> a = bc/d

ad = bc >> b = ad/c

(a,b) = (bc/d, ad/c)

Como ad = bc  temos que b/d = a/c então ficamos com

(a,b) = (bc/d, db/d)

Colocando b/d em evidencia

(a,b) = b/d(c, d)

Fazendo b/d = k temos que o vetor (a,b) é multiplo do vetor (c, d) Já que existe um escalar que multiplicado por (c,d) gera (a,b) ou seja os vetores são LD

(a,b) = k(c,d)   

É analago para provar que é LI só precisa trocar o sinal de agual pelo de diferente.

\(\[\begin{align} & \left( a,b \right)\text{ e }\left( c,d \right): \\ & ad-bc=0 \\ & k1.\left( a,b \right)\text{ }+\text{ }k2.\left( c,d \right)\text{ }=\text{ }\left( 0,0 \right) \\ & \left( k1.a,\text{ }k1.b \right)\text{ }+\text{ }\left( k2.c,\text{ }k2.d \right)\text{ }=\text{ }\left( 0,0 \right) \\ & \left( \text{ }k1.a\text{ }+\text{ }k2.c\text{ },\text{ }k1.b\text{ }+\text{ }k2.d \right)\text{ }=\text{ }\left( 0,0 \right) \\ & k1.a\text{ }+\text{ }k2.c\text{ }=\text{ }0\text{ }.\left( -b \right)\text{ } \\ & -\text{ }k1.a.b\text{ }-\text{ }k2.b.c\text{ }=\text{ }0 \\ & k1.b\text{ }+\text{ }k2.d\text{ }=\text{ }0\text{ }.\left( a \right)\text{ } \\ & \frac{k1.b.a\text{ }+\text{ }k2.d.a\text{ }=\text{ }0}{k2.a.d\text{ }-\text{ }k2.b.c\text{ }=\text{ }0} \\ & k2.\left( \text{ }a.d\text{ }-\text{ }b.c\text{ } \right)\text{ }=\text{ }0\text{ }\to \text{ }k2\text{ }\ne \text{ }0\text{ }->\text{ }vetores\text{ }L.D. \\ & \left( \text{ }a.d\text{ }-\text{ }b.c\text{ } \right)\text{ }\ne \text{ }0\to \text{ }k2\text{ }=\text{ }0\text{ }->\text{ }vetores\text{ }L.I. \\ \end{align}\] \)