Como mostrar que: p ou p^2+2 é divisivel por 3, sendo p e p^2+2 inteiros positivos?

Se p for divisível por 3, ok!

Agora, se p tiver resto 1 ou resto 2 quando divisível por 3, devemos demonstrar que p^2+2 será divisível por 3.

p ==> resto 0

p = 3n, então:

(3n)^2+2=9n^2+2==> não múltiplo de 3

p ==> resto 1

p = 3n+1, então:

(3n+1)^2+2=9n^2+6n+1+2=9n^2+6n+3=3(3n^2+2n+1)=3k, ok seja, múltiplo de 3

p ==> resto 2

p = 3n+2, então:

(3n+2)^2+2=9n^2+12n+4+2=9n^2+12n+6=3(3n^2+4n+2)=3j, ok seja, múltiplo de 3

Portanto, provado!

espero ter ajudado!