Como resolver essa EDO homogênea? 2x(x+y)dx+(x^2+y^2)dy=0

divide por x^2

Tratamos aqui de uma equação exata do tipo \(P dx + Q dy = 0\). Perceba que:

\(\frac{ \partial P }{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x\)

É preciso saber da teoria que trata dessas equações. Sem isso não é possível avançar. A solução da equação é dada por uma equação em y que é constante e obtida de duas formas diferentes:

\(\int P dx = k \ \ ou \ \ \int Q dy = k\)

Começamos pela primeira forma, de onde surge uma "constante" que é função de y na integração, pois ela "sumiu" na derivação com relação a x:

\(\frac{2}{3} x^3 + x^2y + h(y) = k, k \in \mathbb{R}\)

A equação anterior é a que nos dá a solução y(x). Porém, da forma que está não nos ajuda. Sabemos que derivando-a pra y, devemos voltar a ter Q, ou seja:

\(x^2 + h'(y) = x^2 + y^2 \\ h'(y) = y^2 \\ h(y) = \frac{y^3}{3} + K, K \in \mathbb{R}\)

Finalmente, teremos:

\(\frac{2}{3} x^3 + x^2y + \frac{y^3}{3} + K = k \\ \frac{2}{3} x^3 + x^2y + \frac{y^3}{3} = k, k \in \mathbb{R}\)

O que eu fiz no passo anterior foi absorver duas constantes em apenas uma. Ela sempre é definida por condições iniciais, então tanto faz. Perceba que não é trivial isolar y como uma função de x, então podemos deixar assim, simplesmente. Para quem nunca resolveu uma equação exata, o método pode parecer confuso, mas basta prática.

Para condições iniciais nulas, y(0) = 0, teríamos:

\(0 + 0 + 0 = k \\ k = 0\)

Assim:

\(\frac{2}{3} x^3 + x^2y(x) + \frac{y^3(x)}{3} = 0\)

Equação que nos dá implicitamente a função y(x). Podemos isolá-la pela fórmula de Cardano.