Como verificar a independência linear ?
Verifique que:
Se {v1, v2, v3} é linearmente independente e v ∉ span{v1, v2, v3}, então
{v+v1, v+v2, v+v3} é linearmente independente.
3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista
RD Resoluções 
Há mais de um mês
Sabemos que \(a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} = \vec{0}\) apenas para \(a=b=c=0\), pois o conjunto desses três vetores é LI. Logo, devemos analisar:
\(a \vec{(v+v_1)} + b \vec{(v+v_2)} + c \vec{(v+v_3)} = \vec{0}\)
Fazendo as distributivas, teremos:
\(a \vec{v} + a \vec{v_1} + b \vec{v} + b \vec{v_2} + c \vec{v} + c \vec{v_3} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} + (a+b+c) \vec{v} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} +d \vec{v} = \vec{0}\)
Como \(\vec{v}\) não está no espaço gerado dos outros três, o conjunto \(\{\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) é LI, e teremos a igualdade anterior apenas para \(a=b=c=d=0\).
Logo, \(\{\vec{v}+\vec{v_1}, \vec{v} + \vec{v_2}, \vec{v} + \vec{v_3} \}\) é linearmente independente.
Sabemos que \(a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} = \vec{0}\) apenas para \(a=b=c=0\), pois o conjunto desses três vetores é LI. Logo, devemos analisar:
\(a \vec{(v+v_1)} + b \vec{(v+v_2)} + c \vec{(v+v_3)} = \vec{0}\)
Fazendo as distributivas, teremos:
\(a \vec{v} + a \vec{v_1} + b \vec{v} + b \vec{v_2} + c \vec{v} + c \vec{v_3} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} + (a+b+c) \vec{v} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} +d \vec{v} = \vec{0}\)
Como \(\vec{v}\) não está no espaço gerado dos outros três, o conjunto \(\{\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) é LI, e teremos a igualdade anterior apenas para \(a=b=c=d=0\).
Logo, \(\{\vec{v}+\vec{v_1}, \vec{v} + \vec{v_2}, \vec{v} + \vec{v_3} \}\) é linearmente independente.
Victor Vieira
Há mais de um mês
Victor Vieira
Há mais de um mês
