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Como verificar a independência linear ?

Verifique que:

Se {v1, v2, v3} é linearmente independente e v ∉ span{v1, v2, v3}, então 

{v+v1, v+v2, v+v3} é linearmente independente.


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Sabemos que \(a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} = \vec{0}\) apenas para \(a=b=c=0\), pois o conjunto desses três vetores é LI. Logo, devemos analisar:

\(a \vec{(v+v_1)} + b \vec{(v+v_2)} + c \vec{(v+v_3)} = \vec{0}\)

Fazendo as distributivas, teremos:

\(a \vec{v} + a \vec{v_1} + b \vec{v} + b \vec{v_2} + c \vec{v} + c \vec{v_3} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} + (a+b+c) \vec{v} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} +d \vec{v} = \vec{0}\)

Como \(\vec{v}\) não está no espaço gerado dos outros três, o conjunto \(\{\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) é LI, e teremos a igualdade anterior apenas para \(a=b=c=d=0\).

Logo, \(\{\vec{v}+\vec{v_1}, \vec{v} + \vec{v_2}, \vec{v} + \vec{v_3} \}\) é linearmente independente.

Sabemos que \(a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} = \vec{0}\) apenas para \(a=b=c=0\), pois o conjunto desses três vetores é LI. Logo, devemos analisar:

\(a \vec{(v+v_1)} + b \vec{(v+v_2)} + c \vec{(v+v_3)} = \vec{0}\)

Fazendo as distributivas, teremos:

\(a \vec{v} + a \vec{v_1} + b \vec{v} + b \vec{v_2} + c \vec{v} + c \vec{v_3} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} + (a+b+c) \vec{v} = \vec{0} \\ a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} +d \vec{v} = \vec{0}\)

Como \(\vec{v}\) não está no espaço gerado dos outros três, o conjunto \(\{\vec{v}, \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}\) é LI, e teremos a igualdade anterior apenas para \(a=b=c=d=0\).

Logo, \(\{\vec{v}+\vec{v_1}, \vec{v} + \vec{v_2}, \vec{v} + \vec{v_3} \}\) é linearmente independente.

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Victor Vieira

Há mais de um mês

Um conjunto de k vetores ~x1, ~x2, · · · , ~xk é linearmente dependente (l.d.) se existe um conjunto de números (reais ou complexos) não todos nulos c1, c2, · · · , ck tais que c1~x1 + c2~x2 + · · · ck~xk = ~0 (vetor nulo). Se por outro lado o único conjunto c1, c2, · · · , ck para os quais a igualdade acima é satisfeita for c1 = c2 = · · · = ck = 0 então dizemos que os vetores ~x1, ~x2, · · · , ~xk são linearmente independentes (l.i.)
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Victor Vieira

Há mais de um mês

obs: ~ é só pra indicar vetor

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas