ALGUÉM SABE DEMONSTRAR A CONTINUIDADE DA FUNÇÃO COSSENO?

Vamos assumir que sua definição das funções seno e cosseno baseia-se no círculo trigonométrico, para valores reais. Vou também assumir como conhecido que 

Para todo real x, |sen x| ≤ x (1) 
sen(x) - sen(y) = 2 sen((x - y)/2) cos((x + y)/2) (2) 
Para todo real x, |cos x| ≤ 1 (3)

Em virtude de (1), (2) e (3), para todos reais x e y temos que 

|sen(x) - sen(y)| = 2 |sen((x - y)/2)| |cos((x + y)/2)| ≤ 2 |(x - y)/2| * 1 = |x - y|. 

Assim, para todos reais x e y temos que 

|sen(x) - sen(y)| ≤ |x - y|, do que concluímos que a função seno é Lipschitz com constante 1. Como toda função Lipschitz é contínua (na realidade, uniformemente contínua), a continuidade do seno fica demonstrada. 

Como, para todo x, cos(x) = sen(x + π/2), temos que o cosseno é uma translação do seno. E como esta é Lipschitz, segue-se que o cosseno também é. Basta observar que, para todos x e y, 

|cos x - cos y| = |sen(x + π/2) - sen(y + π/2)| ≤ |x + π/2 - (y + π/2| = | x - y|. Logo, o cosseno é (uniformemente) contínua em todo o R.