Prove analiticamente que os segmentos de reta que ligam os pontos médios dos lados opostos de um quadrilátero dividem ao meio um ao outro.

Seja ABCD um quadrilátero. Assim, os vetores somados AB+BC+CD+DA=0 (circuito). - não consigo desenhar a seta em cima dos vetores...-

Por definição, os vetores AM=AB/2 , BN=BC/2 , CO=CD/2 e DP=DA/2. Equações (I)

Em outro circuito, somando-se MB+BN+NX+XM=0 . 
Então, substituindo-se MB e BN: AB/2+BC/2+NX+XM=0 ---> NX+XM= -AB/2-BC/2 (II)

EM outro circuito, NC+CO+OX+XN=0 (III) . Substituindo-se as equações (I) ---> BC/2+DC/2+OX-NX=0 Então NX= BC/2+DC/2+OX (IV).

Substituindo-se (IV) em (II): BC/2+DC/2+OX+XM = -AB/2-CB/2 ---> BC/2+CB/2+DC/2+OX+XM-AB/2=0

Então OX+XM=AB/2+DC/2, ou seja, o segmento OM (OX+XM), que liga os pontos médios de CD e AB , é a média aritmética dos segmentos AB e DC que os geraram.

O mesmo raciocínio pode sr aplicado para achar que NX+XP=BC/2+DA/2.