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O que é teste da primeira derivada para extremos locais? Dê um exemplo de como é aplicado.

Derivada

Cálculo IESTÁCIO

3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Andre Verified user icon

Há mais de um mês

O teste da primeira derivada é utilizado para se determinar os pontos críticos de uma função, ou seja, seus máximos ou mínimos locais.

Por exemplo: Seja dada a equação da parábola:

\(f(x) = x^2-2x+4\)

Derivando e igualando a zero:

\(f'(x) = 2x-2=0\\ x =1\)

Portanto, o ponto de "x = 1" será um ponto crítico da função.

O teste da primeira derivada é utilizado para se determinar os pontos críticos de uma função, ou seja, seus máximos ou mínimos locais.

Por exemplo: Seja dada a equação da parábola:

\(f(x) = x^2-2x+4\)

Derivando e igualando a zero:

\(f'(x) = 2x-2=0\\ x =1\)

Portanto, o ponto de "x = 1" será um ponto crítico da função.

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Jaírle

Há mais de um mês

Seja uma função contínua f e o ponto c em seu domínio tal que f'(c)=0 (ou seja, c é o ponto crítico de f ).

(i) se f' altera o  seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é  mínimo local.

(ii) se f' altera seu o seu sinal de positivo para negatico em c, então f(c) é máximo local.

 EX:

Dada a função f (x ) = x3 9x, determine os máximos e mínimos relativos e absolutos de f , caso exista, e determine qual o valor de x onde ele ocorre.

 

Solução:

 

 Vamos encontrar os extremos locais da função f (x ) = x3 9x . Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em ???? . Como f '(x ) = 3x 2 9 , tem-se que f '(x ) = 0x = 3 ou x = − 3 . Os pontos críticos de f determinam na reta real três intervalos: (−∞,3) , (3, 3) e ( 3,+∞) . Como a função f ' é contínua em ???? , o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo. Escolhamos, por exemplo, os pontos x = −2 , x = 0 e x = 2 que pertencem, respectivamente, aos intervalos (−∞,3) , (3, 3) e ( 3,+∞) . Temos

 

f '(2) = 34 9 = 3 > 0 ;

 

f '(0) = 30 9 = −9 < 0 e

 

f '(2) = 34 9 = 3 > 0 .

 

Pelo teste da primeira derivada concluímos que em x = − 3 f assume valor máximo local, dado por

 

f (3) = 6 3 e em x = 3 f assume valor mínimo local, dado por f ( 3) = −6 3 .

 

 

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Murilo

Há mais de um mês

Vamos partir da função x³-75x+74. Quando você derivar pela primeira vez obterá:   3x²-75. As raizes dessa função são x=5 e x=-5. Se vc desenhar essa parabola somente no eixo x, verá que tudo a direita dessa de 5 é positivo, tudo a esquerda de -5 é negativo e tudo entre as raízes é negativo.Paara descobrir se é positivo ou negativo vc olha a função que vc desenhou(3x²-75) e a parte da função que estiver acima do eixo é posivita, a parte que estiver abaixo do eixo é negativa.

Pois bem, esses pontos(-5,5) são os ponto de máximo da função inicial(x³-75x+6) e essa parte negativa quer dizer que quer dizer que a função decresce nesse intervalo, a parte positiva quer dizer que ela cresce nesse intervalo.

Se vc derivar outra vez vai achar: 6x.A raiz dessa função é 0,  esse é o ponto de inflexão da função inicial.Ponto de inflexão é onde a função inicial muda de concavidade( boca pra cima ou para baixo).Se vc novamente desenhar essa função verá uma reta.Tudo a direita da raiz é positivo e tudo a esquerda é negativo, basta olhar a reta e ver onde fica acima e onde fica abaixo do eixo x. A parte positiva diz que naquele intervalo a função inicial tem boca pra cima, a parte negativa diz que ela tem boca pra baixo.

Por fim vamos montar a função inicial:

As raízes da função inicial são :-8,6;1;8,6.Podem ser facilmente achadas pelo método de briot-ruffini.

As amplitudes podem ser achadas substituindo os valores de x na função, com isso vc acha o y referente.

Marque no eixo x os pontos: -8,6;-5;0;5 e 8,6. Começando do -8,6 e indo até o -5 a parabola é crescente com concavidade para baixo e atinge o ponto de maximo.Do -5 ao 0 ela decresce com concavidade para baixo, atingindo o ponto de infleão, antes boca para baixo a partir daqui boca pra cima.Do 0 ao 5 ela decresce com boca pra cima.Do 5 ao 8,6 ela cresce com boca pra cima. Talvez tenha ficado confuso o desenho do grafico por falta de ferramente grafica,mas  se tiver alguma duvida é só me falar.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas