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Essa equação é do tipo separável. Perceba:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2 y + 3y} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y(x^2 + 3)} \\ y dy = \frac{x dx}{x^2 + 3}\)
Integrando em ambos os lados:
\(\frac{y^2}{2} = \int \frac{x dx}{x^2 + 3} + C\)
A integral ainda não feita é facilmente resolvida com a substituição \(u = x^2 + 3 \to du = 2x dx\), de forma que:
\(\frac{y^2}{2} = \frac{\ln (x^2 +3)}{2} + C \\ \boxed{y^2(x) = \ln (x^2+3) + C}\)
Para \(y(0) = 8\), teremos:
\(64 = \ln 3 + C \\ C = 64 - \ln 3\)
Ou seja:
\(\boxed{y^2(x) = \ln (x^2+3) + 64 - \ln 3}\)
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Equações Diferenciais Ordinárias
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