preciso de ajuda não consigo resolver um limite lim √(x^2 + 6x) -2x ----------------------- x-> 2 √x - √2 a resposta é 3√2/2

Faça a substituição.

nao consegui entender sua pergunta

Vamos resolver o limite dado:

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow2}{\sqrt{x^2+6x}-2x\over\sqrt{x}-\sqrt{2}}\)

Ao substituirmos \(x=2\) na expressão, chegamos a uma indeterminação, logo temos que simplificar a expressão. Vamos começar por racionalizar o numerador:

\(\begin{align} L&=\lim\limits_{x\rightarrow2}{\sqrt{x^2+6x}-2x\over\sqrt{x}-\sqrt{2}}\cdot{\sqrt{x^2+6x}+2x\over\sqrt{x^2+6x}+2x}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow2}{x^2+6x-4x^2\over\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+6x}+2x\right)}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow2}{3x(2-x)\over\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+6x}+2x\right)}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow2}{-3x\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\over\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+6x}+2x\right)}\\ \end{align}\)

Eliminando os termos iguais no numerador e no denominador, temos:

\(\begin{align} L&=\lim\limits_{x\rightarrow2}{-3x\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\over\sqrt{x^2+6x}+2x}\\ \end{align}\)

Agora sim podemos substituir \(x=2\):

\(\begin{align} L&={-3\cdot2\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)\over\sqrt{2^2+6\cdot2}+2\cdot2}\\ &={-12\sqrt{2}\over\sqrt{4+12}+4}\\ &={-12\sqrt{2}\over4+4}\\ &=-{3\sqrt{2}\over2}\\ \end{align}\)

Perceba que a resposta não é \(3\sqrt{2}/2\) como dado no enunciado, e sim:

\(\boxed{L=-{3\sqrt{2}\over2}}\)